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Geometrie-Strahlensatz

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Tags: Strahlensatz

Jennj aktiv_icon

22:05 Uhr, 08.06.2015

hallo,

wieder mal eine aufgabe.

V

und

T

seien Vektoren.

μ \in ℝ

eine Zahl.Folgere das distributivgesetz

μ \cdot (V + T) = μ \cdot V + μ \cdot T

aus dem 1.Strahlensatz.

gruss jenni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Strahlensatz und Ähnlichkeit

Werner-Salomon aktiv_icon

23:10 Uhr, 08.06.2015

Hallo Jennj,

direkt aus dem 1.Strahlensatz ist mir dazu nichts eingefallen. Aber aus der Umkehrung des 1.Strahlensatzes folgt, dass zwei Geraden, die zwei Schenkel derart teilen, dass die Streckenverhältnisse auf jedem Schenkel gleich sind, parallel sein müssen.

Schau Dir dazu bitte die angefügte Skizze an.
Da zwangsläufig

μ = \frac{μ ∣ V + T ∣}{∣ V + T ∣} = \frac{μ ∣ V ∣}{∣ V ∣}

ist, müssen die rechten beiden hellblauen Geraden parallel verlaufen. Entsprechendes gilt für das linke hellblaue Geradenpaar

\frac{μ ∣ T ∣}{∣ T ∣} = \frac{μ ∣ V + T ∣}{∣ V + T ∣}

.
Somit verlaufen auch die äußeren blau-gelbe Strecke parallel zu den hellblauen Strecken und sind auch gleich lang.

Mit dieser Information kann man das Distributivgesetz

μ \cdot (V + T) = μ \cdot V + μ \cdot T

direkt aus der Skizze ablesen.

Gruß
Werner

Werner-Salomon aktiv_icon

21:35 Uhr, 09.06.2015

.. das 'direkt ablesen' klappt vielleicht nicht ganz.

Nochmal ein Versuch:
Aus obiger Erläuterung sollte klar sein, dass Strecken, die in der Skizze parallel aussehen auch parallel sind. Gegenüberliegende Streckenstücke sind demnach auch gleich lang, da sie mit dem jeweils anderen Streckenpaar ein Parallelogramm bilden.

Das Stück 0 nach uV entspricht

μ \cdot V

. Aus der Parallelität und den gleich langen Strecken ist das Stück von uV nach u(V+T) gleich

μ \cdot T

. Legt man beide zusammen (Vektoraddition) so erhält man

μ \cdot V + μ \cdot T

für das Stück von 0 nach u(V+T). Dies ist aber identisch mit

μ (V + T)

- also ist

μ \cdot V + μ \cdot T = μ (V + T)

Gruß
Werner

Jennj aktiv_icon

21:54 Uhr, 09.06.2015

hallo werner,

soweit klar. was ich nicht verstehe ist diese uV.denn

u

ist nicht

λ

,richtig?

Jennj aktiv_icon

22:21 Uhr, 09.06.2015

ahhhhhhhhh, geschnallt.

doch wie schreibt man es formal auf???

Jennj aktiv_icon

09:14 Uhr, 10.06.2015

hallo,
denke so müsste es auch gehen ohne Vektorrechnung.

zu zeigen:

μ \cdot (V + T) = μ \cdot (S) + μ \cdot (T)

sei

: μ = \frac{μ \cdot (V)}{V} \Rightarrow V = \frac{μ \cdot (V)}{μ}

und:

μ = \frac{μ \cdot (T)}{T} \Rightarrow T = \frac{μ \cdot (T)}{T}

Dann:

μ \cdot (V + T) = μ \cdot (\frac{μ \cdot (V)}{μ} + \frac{μ \cdot (T)}{μ}),

hier setze ich ein

= \frac{μ}{μ} \cdot (μ \cdot (V) + μ \cdot (T)),

also

μ

kürzt sich weg

= μ \cdot (V + T),

qed

Jennj aktiv_icon

20:16 Uhr, 10.06.2015

hallo,

könnte das denn so passen ?

lg jenni

Werner-Salomon aktiv_icon

21:17 Uhr, 10.06.2015

Hallo Jennj,

zum Schluss hast Du nur bewiesen, dass

μ \cdot (V + T) = μ \cdot (V + T)

ist ...

Im Prinzip ist es ja kein Problem das Distributivgesetz für die Kombination Reelle Zahl und Vektor zu beweisen, wenn man das Distributivgesetz für Reelle Zahlen voraussetzt.

μ \cdot V + μ \cdot T = μ \cdot (\begin{array}{rcl} v_{1} \\ v_{2} \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{rcl} t_{1} \\ t_{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} μ \cdot v_{1} \\ μ \cdot v_{2} \end{array}) + (\begin{array}{rcl} μ \cdot t_{1} \\ μ \cdot t_{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} μ \cdot v_{1} + μ \cdot t_{1} \\ μ \cdot v_{2} + μ \cdot t_{2} \end{array})

es gilt das Distibutivgesetz für Reelle Zahlen - also

= (\begin{array}{rcl} μ \cdot (v_{1} + t_{1}) \\ μ \cdot (v_{2} + t_{2}) \end{array}) = μ \cdot (\begin{array}{rcl} v_{1} + t_{1} \\ v_{2} + t_{2} \end{array}) = μ \cdot (V + T)

.. das war aber nicht gefragt. Gefragt war nach einem Beweis mit Hilfe des 1.Strahlensatzes.
Ich habe das oben versucht; da es zwangsläufig ein geometrischer Beweis ist, bleibt IMHO nur Prosa. Eine logische Aussage sollte auf die nächste folgen.
Wobei ich mir nicht mal sicher bin, ob der Umkehrschluss des 1.Strahlensatz 'automatisch' gilt.

Das kann man sicher mathematisch genauer fassen, als ich es da getan habe. Mir fehlt dazu die Übung.

Gruß
Werner

Jennj aktiv_icon

21:24 Uhr, 10.06.2015

hallo werner,

ach ich gebe es so ab und werde dann sehen, ob es passt oder nicht.müssen ja auch net alles wissen:-)

lg jenni

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