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Geometrie, Vereinigung, Wahre Gestalt

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, Vereinigung, Wahre Gestalt

mathefreund2018 aktiv_icon

21:28 Uhr, 20.12.2018

Hallo liebes Forum,

ich verzweifle hier etwas an einer Aufgabe, die ich als Beleg abgeben muss. Es geht um Konstruktive Geometrie, genauer gesagt um folgende Punkte:

1. Vereinigung von Pyramide und Prisma zeichnen (Grundriss, Aufriss sind gegeben).

2. Irgendwie über eine Höhenlinie

h'

im Aufriss die Wahre Gestalt eines ABCD zeichnen.

Ich habe mich bereits dran versucht, aber mein Professor sagte mir, dass sowohl 1 als auch 2
nicht richtig seien. Kann mir da jemand helfen?

Meine Skizze habe ich beigefügt. Vielen Dank!

"Mathefreund"2018 :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

02:40 Uhr, 21.12.2018

>

Ich habe mich bereits dran versucht, aber mein Professor sagte mir, dass sowohl 1 als auch 2 nicht richtig seien.
1 und 2?
Da sind in deiner Zeichnung keine Hilfspunkte mit diesen Namen erkennbar!

Mit der Verschneidung hast du es dir jedenfalls deutlich zu einfach gemacht. Natürlich musst du auch die Prismenkanten mit den Seitenflächen der Pyramide schneiden. Da die Prismenkanten ja zweitprojizierend sind ist das zum Glück sehr einfach.
Es geht ja nur um die Kanten

Q \bar{Q}

und

S \bar{S}

und jede der beiden schneidet die pyramide in zwei Punkten
Ich hab dir das mal für den sichtbaren Bereich (dafür benötigte ich nur

S \bar{S})

eingemalt.

Der Grundriss deiner ersten Hauptgeraden, um die du die Pyramidenbasis paralleldrehen wolltest ist übrigens auch falsch. Da hast du (hoffentlich nur irrtümlich) den Ordner für den Hilfspunkt auf

C D

mit

A' B'

geschnitten statt mit

C' D'

.
Ich hab dir das Grundrissbild dieser ersten Hauptgeraden in grün eingezeichnet.
Wenn du beim Paralleldrehen nach links unten Platzprobleme bekommst, müsstest du nach rechts oben drehen oder eine andere Hauptgerade (zB durch

B

oder

C)

wählen.

mathefreund2018 aktiv_icon

15:50 Uhr, 21.12.2018

Hallo Roman! Vielen Dank für Deine Antwort! Endlich mal einer, der mir weiterhelfen kann ;-)

Ich möchte das gerne verstehen, daher erstmal die folgende Rückfrage zur Vereinigung:

Von der Logik her habe ich die Änderung verstanden. Nur vom technischen Ablauf nicht.
Du hast für, nennen wir Sie mal

S 1

und

S 2

(die geänderten Schnittpunkte mit der

s'),

jeweils rote Hilfslinien eingezeichnet. Aber wie genau bist Du eben genau auf diese
Punkte gekommen (und nicht +-2cm?). Arbeitest Du da mit dem Aufriss, und ziehst Dir
da irgendwelche Referenzwerte?

Vielen DANK

"Mathefreund"2018 :-)

PS: Das 1 und 2 oben war etwas missverständlich ausgedrückt. Mit 1 (Aufgabe) ist die Vereinigung, mit 2 (Aufgabe) die Wahre Gestalt gemeint.

mathefreund2018 aktiv_icon

15:57 Uhr, 21.12.2018

Ergänzung: Glaube habe verstanden! Du hast im Aufriss eine Hilfslinie durch

S''

gezeichnet, die verlängert jeweils die Strecken

B - C

und

C - D

schneidet. Anschließend hast Du orthogonal in den Grundriss gezeichnet und die jeweiligen Punkte im Grundriss markiert. Mit diesen Punkten jeweils eine Hilfslinie zu

T'

gezeichnet und an den Schnittpunkten auf

S'

waren das die Punkte fürs Zeichnen der Schnittlinie. Richtig?

Vielen Dank

"Mathefreund"2018 :-)

mathefreund2018 aktiv_icon

16:59 Uhr, 21.12.2018

Hallo Roman,

ich habe das jetzt nochmal neu gezeichnet und genauso auch hinbekommen (siehe Anhang dieses Posts).

Jetzt zur "Wahren Gestalt": Hier verstehe ich das leider gar nicht. Könntest Du mir bitte
Schritt für Schritt erklären, wie Du auf diese neue Linie kommst und wie ich nun die Punkte übertrage, damit ich die Wahre Gestalt ABCD rauskriege? Vielen Dank!

"Mathefreund"2018 :-)

Roman-22

20:39 Uhr, 21.12.2018

Nun, die Frage nach der konstruktiven Ermittlung der Schnittpunkte der Prismakanten mit den Pyramidenflächen scheint sich erledigt zu haben.
Das Verfahren ist simples "Angittern". Wir kennen jeweils den Aufriss eines Punktes (zB

S_{1}

als Schnitt der Kante

S \bar{S}

mit der Ebene CDT) und wissen, in welcher Ebene er liegt (hier eben CDT). Also zeichnen wir im Aufriss eine beliebige Gittergerade in der Ebene CDT durch

S_{1}

und ermitteln dann deren Grundriss. Ich habe als Gittergerade die Gerade

T S_{1}

gewählt. Der Aufriss des Schnittpunkts

1 (\in

der Zeichnung nicht beschriftet) dieser Gittergeraden mit der Ebenengeraden

C D

ist leicht ermittelbar und so der Grundriss

1'

sofort im Schnitt des Ordners durch

1'

mit

C' D'

gefunden werden.
Damit ist der Grundriss der Gittergeraden mit

T' 1'

gefunden. Auf dieser liegt

S_{1}',

also bleibt bloß übrig den Order durch

S_{1}^{''} (= S^{''} = {\bar{S}}^{''})

zu zeichnen.

Was die wahre Gestalt anlangt, so würde eine Erklärung des Prinzips des Paralleldrehens um eine Hauptgerade den Rahmen einer Forneantwort sprengen un dwäre mir auch wegen der nötigen Erklärungs-Zeichnungen zu mühsam. Wenn du solche Aufgaben lösen musst, dann solltest du schon von der Methode gehört haben und die Erklärung in deinen Unterlagen finden. Alternativ solltest du auch in jedem guten Buch der Darstellenden Geometrie bzw. Konstruktiven Geometrie fündig werden. Und auch eine Internetsuche etwas nach "Paralleldrehen um eine Hauptgerade" sollte dir nützliches Material zutage fördern.

>

wie Du auf diese neue Linie kommst
Meinst du

h_{1}',

welche ich in grüner Farbei eingezeichnet hatte?
Auch hier wieder nur simples Angittern. Jede erste Hauptgerade erscheint im Aufriss als horizontale Linie und du hast ja bereits

h_{1}'

(du nennst die Gerade nur

h)

im Aufriss durch A gewählt und eingezeichnet. Es soll eine erste Hauptgerade in der Ebene

A B C D

sein. Daher gibt es einen Schnittpunkt mit

C D,

den du im Aufriss ja noch eingezeichnet hattest. Nenne wir diesen Schnittpunkt

2,

dann hast du im AR bereits 2".
Der Grundriss

2'

von 2 liegt nun natürlich auf der geraden

C' D'

und kann mittels seines Ordners leicht ermittelt werden.
Dass 2" in der Zeichnung ziemlich hoch liegt und sich Grund- und Aufriss hier ein wenig überlappen tut nichts zur Sache.
Du hättest ja zB

h_{1}

auch durch

B

oder

D

wählen und als Gitterpunkt den Schnittpunkt mit

A C

heranziehen können. Das wäre dann etwas kompakter geworden.

P . S . :

Was deiner Zeichnung noch fehlt sind natürlich die Schnittpunkte

Q_{1}, Q_{2}

und der komplette unsichtbare teil der Verschneidung.

mathefreund2018 aktiv_icon

20:17 Uhr, 04.01.2019

ERARBEITETE LÖSUNG

Vielen Dank @Roman-22

Roman-22

13:37 Uhr, 05.01.2019

Ja, sieht soweit ganz gut aus, auch wenn man die Konstruktion im Scan nicht sonderlich gut erkennen kann. Die Punkte der in wG gedrehten Figur konnte man noch entsprechend beschriften

(A' = A_{0}, B_{0}, ...)

Was deine per PN gestellten Fragen anlangt:

> (1)

Diese "Spiegelachse" wo durch ich

A' B' C' D'

drehe um die Wahre Gestalt zu bekommen, hat die einen speziellen Namen?
Mit spiegeln hat das Ganze nix zu tun. Nenne wir sie also lieber Drehachse.
Es handelt sich um eine sog. erste Hauptgerade (man könnte sie daher auch mit

h_{1}

bezeichnen). Das ist eine Gerade, die parallel zur Grundrissebene

π_{1}

liegt und daher im Aufriss als Waagrechte erscheint.

> (2)

Diese "Spiegelachse" kann ich ja recht beliebig anordnen, solange die parallel liegt oder?
Ja, du kannst um eine beliebige erste Hauptgerade, die in der betreffenden Ebene liegt, drehen. Du könntest auch im Aufriss um eine zweite Hauptgerade drehen. Das wäre vermutlich sogar einfacher, da AC bereits eine zweite Hauptgerade zu sein scheint.
Weiters dürften die Grund- und Aufrissbilder des Vierecks ABCD Parallelogramme sein. Dann sollte auch die wahre Gestalt ein Parallelogramm sein. Deine Zeichnung wäre diesbezüglich dann ziemlich ungenau.

> (3)

Dieses Drehverfahren...hat das einen speziellen Namen? Ist das dieses Drehkegelverfahren?
Mit einem Kegel hat das ganze wenig zu tun (wenngleich jede Gerade, die um eine sie schneidende Achse rotiert, einen Drehkegel erzeugt.
Erklärt wird das recht schön Schritt für Schritt zB hier
http//members.geometry.at/3d-geometry/Dokumente/deutsch/05_gak/05_06_02_te_cd_wgroesse_dreh.ppsx
Ich kenne dafür die Bezeichnung "Paralleldrehen (um eine Hauptgerade)", wobei sich das "Parallel" darauf bezieht, dass die ebene Figur zB so um eine Hauptgerade gedreht wird, dass sie dann zur Bildebene parallel liegt (also Hauptlage hat) und daher im entsprechenden Riss unverzerrt erscheint.
Eine andere Bezeichnung dafür ist "Nulldrehen" bzw. spricht man davon, dass sich die Figur dann in "nullgedrehter Lage" befindet.

Wie schon früher erwähnt ist es auch möglich, die wahre Gestalt einer ebenen Figur durch Einführung zweier Seitenrisse zu erhalten, nur finde ich, dass dieses Verfahren aufwändiger ist.
Beschrieben wird es zB hier:
http//members.geometry.at/3d-geometry/Dokumente/deutsch/05_gak/05_06_00_te_wgroesse_seit.ppsx

Vielleicht interessiert dich generell ja diese Seite
http//members.geometry.at/3d-geometry/html/materialien.htm
Speziell jetzt Kapitel

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