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Geometrische Reihe erkennen und Wert errechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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15:21 Uhr, 27.06.2019

Hallo,

folgende Aufgabe habe ich:

Ist die folgende Reihe eine geometrische Reihe. Ist die angegebene Reihe konvergent/divergent und können Sie ggfs. den Wert der Reihe angeben.

\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n}

Da die Reihe eine geometrische Form

\sum_{i = 1}^{\infty} q^{n}

hat, kann ich sagen, dass diese Reihe eine geometrische Reihe ist und konvergiert, da

q = \frac{1}{3} < 1

.

Mein Ansatz war:

\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n} = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

Lösung ist:

\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n} - 1 = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}

.

Warum setzt man

i = 0

? Anscheinend wird dann das 0. Partial wieder subtrahiert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:27 Uhr, 27.06.2019

Hallo,

ok, mal der Reihe nach:
Wie ist bei euch eine geometrische Reihe definiert? (Exakte Definition, nicht, was du davon noch im Kopf hast!)

Mfg Michael

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15:30 Uhr, 27.06.2019

\sum_{i = 0}^{\infty} q^{k}

ok ich sehe es gerade...d.h. immer wenn sie bei einem Index

> 0

startet, muss ich die "überschüssigen" Folgeglieder wieder subtrahieren?

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15:30 Uhr, 27.06.2019

\sum_{i = 0}^{\infty} q^{k}

ok ich sehe es gerade...d.h. immer wenn sie bei einem Index

> 0

startet, muss ich die "überschüssigen" Folgeglieder wieder subtrahieren?

michaL aktiv_icon

16:19 Uhr, 27.06.2019

Hallo,

du gehst ein bisschen fahrlässig mit den Indices um:

\sum_{i = 0}^{\infty} q^{k}

Aber: Sei's drum.

Ja, es handelt sich um den hinteren Teil einer geometrischen Reihe.
Ich finde übrigens, dass jede Reihe der Form

\sum_{k = k_{0}}^{\infty} a \cdot q^{k}

eine geometrische Reihe ist.
Man sollte für geometrische Reihen vielleicht als Kriterium nehmen, dass der Quotient aufeinander folgender Glieder konstant ist:

\frac{a q^{k + 1}}{a q^{k}} = q

Nun zur Berechnung des Reihenwertes:
Entweder beginnt man bei Index 0 und subtrahiert die dazu gelogenen Anfangsglieder oder
man macht eine Indexverschiebung und klammert überschüssige Potenzen aus.
Dann kann man immer die Formel