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Geometrische Vielfachheit ermitteln

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Tags: Determinanten, Eigenwert, Matrizenrechnung, Vektorraum

 
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poetman

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16:29 Uhr, 08.10.2010

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Guten Tag allerseits,


Gegeben ist mir in einer Übungsaufgabe A=(421272124)

Mein charakteristisches Polynom sieht so aus:
x3-15x2+63x-81

Die Ermittelten reelle Eigenwerte sind:
{3;3;9}

Jetzt kann ich leicht die alg. Vielfachheit ablesen
λ1,2=3⇒ Alg.Vielf.=2
λ3=9⇒ Alg.Vielf.=1

Nun gilt es die Eigenvektoren zu ermitteln und da gerate ich ins Stocken. Ich habe zwar dank Arndt-Brünner die Eigenvektoren vorliegen aber der Weg um diese Zu ermitteln ist mir nicht 100%ig klar.

Eigenvektor zu Eigenwert 3:
(-2;1;0)
Eigenvektor zu Eigenwert 3:
(-1;0;1)
Eigenvektor zu Eigenwert 9:
(1;2;1)

Wie gelange ich zu diesen Eigenvektoren?:

Allgemein: A-λ1,2,3=0

für λ1,2=3:


(121242121)

Nun mittels Gauß zwei Nullzeilen erzeugen (RICHTIG ODER FALSCH?):

(121000000)

Jetzt müßte ich mMn das ganze als GS schreiben:
I 1⋅x1+2⋅x2+1⋅x3=0
II x1+x2+x3=0
III x1+x2+x3=0

Aber hier versagt mein Wissen: wie löse ich das auf und wann kann ich eine Aussage über die geometrische Vielfachheit treffen.

Mit der Bitte um baldige Hilfe meine Klausur ist am 19.10.2010: Danke euch schon mal.



p.s. Folgende Definition für geometrische Vielfachheit ist mir bekannt:

Geom. Vfh. ist die Anzahl der zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren.(nicht -werten ^^")
d.h. auf meine Aufgabe bezogen, dass die geom.Vfh zu den Eigenwerten λ1,2,3 jeweils 1 seinen müsste, da nur ein Eigenvektor vorhanden?
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m-at-he

m-at-he

17:18 Uhr, 08.10.2010

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Hallo,

durch die beiden Zeilen mit den Nullen hast Du ein homogenes Gleichungssystem mit EINER Gleichung und DREI Unbekannten, d.h. Du kannst ZWEI Unbekannte frei wählen. Arndt Brüner macht dies einmal mit der Wahl von x2=1 und x3=0 und einmal mit der Wahl von x2=0 und x3=1. In beiden Fällen ermittelt er anhand der verbliebenen Gleichung den Wert für x1. Der allgemeine Ansatz ist also:

Gegeben (nach Abzug der Nullgleichungen): m homogene Gleichungen mit n Unbekannten, m≤n.

Wähle die letzten n-m Variablen alle Null bis auf eine, die gleich Eins ist. Diese eine, die Du als Eins wählst läßt Du über alle n-m möglichen Stellen wandern und für alle diese "Ansätze" ergibt sich ein neues homogenes Gleichungssystem mit m Gleichungen und m Unbekannten. Diese Lösungen ergeben für die einzelnen "Ansätze" von xm+1,... ,xn die Werte für x1 bis xm.

Ist das jetzt klar?
poetman

poetman aktiv_icon

13:48 Uhr, 10.10.2010

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Leider ist mir das noch nicht ganz klar.

Ich hab nochmal überlegt und bin drauf gekommen, das mein Gleichungssystem gar nicht richtig war.(denke ich zumindestens)

Es müsste mMn eigentlich so lauten:

Matrix:

(121000000)

GS:

I 1⋅x1+2⋅x2+1⋅x3=0
II 0⋅x1+0⋅x2+0⋅x3=0
III 0⋅x1+0⋅x2+0⋅x3=0

damit steht bei

I 1⋅x1+2⋅x2+1⋅x3=0
II 0=0
III 0=0

nur Gleichung I bleibt übrig!?

@m-at-he:
Das meintset du doch mit eine Gleichung mit drei Unbekannten oder? Frei Wählen? Das ist ja "lustig"... : muss man in einem solchen Fall nich x3=t setzen? Danke für alle weitere Hilfestellungen. Ich verstehe auch weiterhin noch nicht wie ich nun zur geometrischen Vielfachheit gelange. THX THX THX
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