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Gerade auf Ebene projizieren

Schüler

Tags: eben, Gerade, Projizierung

mathereaper aktiv_icon

19:37 Uhr, 01.05.2013

Hallo, ich will eine Gerade auf eine Ebene projizieren und brauche die Projektionspunkte

A'

und

B'

Punkte

A (- 14 / - 9 / 1); B (4 / 3 / 1)

g : (- 14 / - 9 / 1) + t \cdot (18 / 12 / 0)

E : - 3 x + 2 y + 5 z = 4

gut. ich will die gerade

h (

die projizierte auf

E)

haben und brauche dafür die Punkte

A'

und

B'

h : X = A' + s \cdot A' B'

meinen punkt

A'

bekomme ich, indem ich die gerade mit

E

schneide.

A' (1 / 1 / 1)

aber wie bekomme ich

B'

?

ich habe bereits versucht die gerade mit

B

als Aufpunkt und BA als richtungsvektor zu verwenden. hat aber nicht geklappt. kann mir wer sagen wie ich

B'

bekomme?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

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michael777 aktiv_icon

19:51 Uhr, 01.05.2013

der Punkt

B

wird senkrecht auf die Ebene projiziert, die Gerade BB' ist somit senkrecht zur Ebene,

B'

liegt auf der Ebene
- Geradengleichung aufstellen mit

B

als Stützpunkt und dem Normalenvektor der Ebenen als Richtungsvektor der Geraden
- Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene ist der Punkt

B'

mathereaper aktiv_icon

20:10 Uhr, 01.05.2013

Hi, danke für deine Antwort!!

also wenn ich

B'

so ausrechne, was mir auch richtig scheint, kommt mir ein total anderes Ergebnis raus wie der Löser sagt.

hier meine Rechnung :

g' : X = (4 / 3 / 1) + s \cdot (- 3 / 2 / 5)

die schneide ich jetzt mit der Ebene

dann ist mein

s = \frac{5}{38}

s

setze ich jetzt in

g'

ein und das sollte ja mein

B'

sein, richtig?

ich habe die rechnung mehrmals auf rechenfehler untersucht, aber ich finde keine und so kompliziert ist das ja auch nicht.

B' = (\frac{175}{38} / \frac{62}{19} / \frac{63}{38})

A' B'

sollte sein

: (99 / 86 / 25)

mein

A'

stimmt so.

mach ich was falsch?

michael777 aktiv_icon

20:12 Uhr, 01.05.2013

als x-Koordinate von

B'

habe ich

\frac{137}{38}, y

und

z

stimmen

mathereaper aktiv_icon

20:14 Uhr, 01.05.2013

uups da hab ich mich verschrieben!

hmmmmm der löser sagt aber etwas anderes..... aber du sagst das stimmt so?

michael777 aktiv_icon

20:22 Uhr, 01.05.2013

Gerade

A' B'

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \frac{99}{38} \\ \frac{43}{19} \\ \frac{25}{38} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{1}{38} s (\begin{matrix} 99 \\ 86 \\ 25 \end{matrix})

wählt man nun

t = \frac{1}{38} s

dann ist die Projektionsgerade

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 99 \\ 86 \\ 25 \end{matrix})

Kontrolle:
Skalarprodukt aus Richtungsvektor der projizierten Geraden und Normalenvektor der Ebenen ist 0

mathereaper aktiv_icon

20:26 Uhr, 01.05.2013

wie bist du da jetzt draufgekommen??

woher kommt dein

\frac{99}{38}

und das andere??

welche gerade hast du jetzt verwendet, die du mit der Ebene geschnitten hast??

michael777 aktiv_icon

20:27 Uhr, 01.05.2013

bis auf die x-Koordinate stimmt dein Projektionspunkt

B'

projizierte Gerade

A' B' :

\vec{a}'

als Stützvektor und der Differenzvektor

\vec{b}' - \vec{a}'

als Richtungsvektor

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} \frac{137}{38} - 1 \\ \frac{62}{19} - 1 \\ \frac{63}{38} - 1 \end{matrix})

mathereaper aktiv_icon

20:36 Uhr, 01.05.2013

ok vielen dank für die Hilfe!

aber ich verstehe den schritt wo du

t = s

setzt nicht genau

kann man die

\frac{1}{38}

einfach so rausholen??

das ist ja wie eine "vereinfachung" oder?? wäre die gleichung mit den ganzen

/ 38

nicht schon richtig??

mathereaper aktiv_icon

20:37 Uhr, 01.05.2013

ok vielen dank für die Hilfe!

aber ich verstehe den schritt wo du

t = s

setzt nicht genau

kann man die

\frac{1}{38}

einfach so rausholen??

das ist ja wie eine "vereinfachung" oder?? wäre die gleichung mit den ganzen

/ 38

nicht schon richtig??

michael777 aktiv_icon

20:38 Uhr, 01.05.2013

richtig, die Geradengleichung mit den Brüchen wäre auch schon das Ergebnis (es lässt sich halt noch ein bisschen vereinfachen)
das geht aber nur beim Richtungsvektor (also nicht beim Stützvektor)

die Richtung ändert sich nicht, wenn du den Richtungsvektor mit einem Faktor multiplizierst (parallele Vektoren)

mathereaper aktiv_icon

20:39 Uhr, 01.05.2013

ahh ok, also ich muss das nicht machen, es ist dann nur schöner zum rechnen... sozusagen?

michael777 aktiv_icon

20:40 Uhr, 01.05.2013

ganz genau, es sieht halt besser aus und ohne Brüche kann man einfacher rechnen, falls man die Geradengleichung in einer weiteren Aufgabe nochmal braucht

mathereaper aktiv_icon

20:42 Uhr, 01.05.2013

das trifft sich ja gut, denn jetzt muss ich die Gerade noch spiegeln ;-)

vielen dank für den tipp und die Hilfe!!!

mathereaper aktiv_icon

20:53 Uhr, 01.05.2013

also ich bin jetzt beim Spiegeln und gehe wie folgt vor :

ich berechne mir A und

B

der gespiegelten Geraden

(A''

und

B'')

in dem ich

: A'' = A' + A A'

und

B' ... . .

.

kannst du mir jetzt weiterhelfen? ich muss auf die "Spiegelgerade" kommen. wie ist denn die gleichung für die??

ich hätte für

A'' = (16 / 11 / 1)

und

B'' (194 / 83 / 49)

A'' B'' = (178 / 72 / 48)

michael777 aktiv_icon

21:06 Uhr, 01.05.2013

die Gerade AB wird an der Ebene gespiegelt?

A'liegt doch auf der Ebene, bei der Spiegelung ist somit

A'' = A'

BB'' ist genauso wie BB' (bei der Projektion) senkrecht zur Ebene

B'' = B + 2 \cdot

BB' (hier darf kein Faktor "rausgezogen" werden, man muss mit dem absoluten Wert rechnen, weil es hier um den Abstand geht

B'

liegt auf der Ebene und genau in der Mitte von BB'')
alternativ:

B'' =

B'+BB'

Gleichung der gespiegelten Gerade

A' B''

\vec{x} = \vec{a}' + s \cdot (\vec{b}'' - \vec{a}')

sollte es hier wieder ein Richtungsvektor mit Brüchen geben, dann könnte man ähnlich wie oben den Hauptnenner als Faktor vor den Richtungsvektor schreiben und

t

anstelle von s*Hauptnenner ersetzen

mathereaper aktiv_icon

21:13 Uhr, 01.05.2013

also ich habe es genauso berechnet wie deine "Alternative".

rauskommen sollte für die gespiegelte Gerade

g' : X = (1 / 1 / 1) + s \cdot (42 / 48 / 25)

ich weiß aber nicht wie man hier auf den Richtungsvektor kommt, bzw. was ich falsch gemacht habe.

wenn ich überal für

A'' (1,1,1)

verwende bekomme ich noch immer ein anderes Ergebnis

mathereaper aktiv_icon

21:13 Uhr, 01.05.2013

doppelpost

michael777 aktiv_icon

21:18 Uhr, 01.05.2013

was ist bei dir

B''

B'' =

B'+BB'

\vec{b}'' = \vec{b}' + (\vec{b}' - \vec{b})

\vec{b}'' = (\begin{matrix} \frac{137}{38} \\ \frac{62}{19} \\ \frac{63}{38} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{137}{38} - 4 \\ \frac{62}{19} - 3 \\ \frac{63}{38} - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{61}{19} \\ \frac{67}{19} \\ \frac{44}{19} \end{matrix})

Kontrolle:

\frac{\frac{61}{19} + 4}{2} = \frac{137}{38}

\frac{\frac{67}{19} + 3}{2} = \frac{62}{19}

\frac{\frac{44}{19} + 1}{2} = \frac{63}{38}

der Mittelpunkt von BB'' ist also

B'

gespiegelte Gerade:

\vec{x} = A' + s \cdot A' B''

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} \frac{61}{19} - 1 \\ \frac{67}{19} - 1 \\ \frac{44}{19} - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} \frac{42}{19} \\ \frac{48}{19} \\ \frac{25}{19} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot \frac{1}{19} \cdot (\begin{matrix} 42 \\ 48 \\ 25 \end{matrix})

nun ersetzt man wieder

s \cdot \frac{1}{19}

durch

t

(damit die Geradengleichung einfacher wird):

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 42 \\ 48 \\ 25 \end{matrix})

mathereaper aktiv_icon

21:25 Uhr, 01.05.2013

ahh ok jetzt komme ich auch drauf!!! ziemlich verwirrend mit diesen ganzen

A'' . .

.

vielen dank für die Hilfe und die Geduld!!!

michael777 aktiv_icon

21:27 Uhr, 01.05.2013

aus diesem Grund immer eine Skizze machen!

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