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Gerade aus Spurpunkten berechnen

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Tags: Spurpunkt, Vektorraum

chillern1 aktiv_icon

11:22 Uhr, 29.09.2017

Hallo,

es geht darum aus zwei Spurpunkten eine Geradengleichung zu bestimmen.

Wie man aus einer Gerade die Spurpunkte bestimmt weiß ich inzwischen. Wie geht es denn andersrum?

Ich habe die Spurpunkte

S_{1}

(0|-6|6)und

S_{2} (3 | 0 | 2)

.

Wäre für Hilfe dankbar:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 29.09.2017

Allgemein: wenn

P (a, b, c)

und

Q (a_{1}, b_{1}, c_{1})

auf einer Gerade liegen,
so ist diese Gerade durch

{(a, b, c) + t (a_{1} - a, b_{1} - b, c_{1} - c) : t \in ℝ}

gegeben.

chillern1 aktiv_icon

11:37 Uhr, 29.09.2017

Danke für die schnelle Antwort. Das habe ich mir schon gedacht.
Aber ich habe mal ein Test gemacht und hatte eine Aufgabe mit einer gegebenen Geraden

(s

. Anhang).
Dann habe ich die Spurpunkte bestimmt und danach "so getan" als ob ich eine Aufgabe habe, bei der ich nur die Spurpunkte habe und die Gerade berechnen möchte.

Aber dann komme ich ja nie auf die gegebene Ursprungsgerade (Vgl. Bild)??!
Der Stützvektor ändert sich und der Richtungsvektor auch.
Mein Problem ist, dass für mich nicht richtig ersichtlich ist, dass es sich bei beiden Parameterdarstellungen um die gleiche Gerade handelt.

Kann mir da nochmal jemand helfen?

sprtka aktiv_icon

12:05 Uhr, 29.09.2017

Geradengleichungen sind nun mal nicht eindeutig. Du kannst auf diese weise auch nie die ursprüngliche Gleichung rekonstruieren, nur "per Zufall". Was ich vorschlagen kann ist, dass du bei der neuen Geradengleichung wieder auf die alte Art Spurpunkte bestimmst und die dann mit den von der ersten Gleichung vergleichst, die Spurpunkte sind nämlich eindeutig.

abakus

12:06 Uhr, 29.09.2017

Die Gerade IST KEINE Ursprungsgerade.

DrBoogie aktiv_icon

12:07 Uhr, 29.09.2017

"Mein Problem ist, dass für mich nicht richtig ersichtlich ist, dass es sich bei beiden Parameterdarstellungen um die gleiche Gerade handelt."

Zunächst mal ist es mir nicht klar, warum das ein Problem sein soll?
Wozu brauchst Du den Beweis, dass es um die gleiche Gerade geht?

Und wenn Du ihn wirklich brauchst, so ist er normalerweise einfach.
Z.B. sind Geraden

g_{1} = {(1, 0, 2) + t (1, - 1, 0)}

und

g_{2} = {(4, - 3, 2) + s (2, - 2, 0)}

gleich.
Beweis: sei

P

ein beliebiger Punkt auf

g_{1}

. Dann gilt

P = (1 + t, - t, 2) = (4 + t - 3, - 3 + 3 - t, 2) =

= (4, - 3, 2) + (t - 3, 3 - t, 0) = (4, - 3, 2) + \frac{t - 3}{2} (2, - 2, 0)

und dieser Punkt liegt auf

g_{2}

.

Umgekeht, sei

P

ein ein beliebiger Punkt auf

g_{2}

. Dann gilt

P = (4 + 2 s, - 3 - 2 s, 2) = (1 + 2 s + 3, - 3 - 2 s, 2) =

= (1, 0, 2) + (2 s + 3, - 2 s - 3, 0) =) = (1, 0, 2) + (2 s + 3) (1, - 1, 0)

und dieser Punkt liegt auf

g_{1}

.

Also, sind beide Gerade gleich.

chillern1 aktiv_icon

12:07 Uhr, 29.09.2017

Okay danke.

Warum ist das keine Ursprungsgerade? weil der Stützvektor auf einem Punkt ungleichem dem Ursprung basiert?

DrBoogie aktiv_icon

12:08 Uhr, 29.09.2017

"Warum ist das keine Ursprungsgerade?"

Weil Nullpunkt nicht auf der Gerade liegt.

chillern1 aktiv_icon

12:10 Uhr, 29.09.2017

Okay danke.

Grüße

1388087

1388071

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