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Gerade in logarithmischer Skala aufstellen

Universität / Fachhochschule

Tags: Problem aus der Physik

Stinkebub aktiv_icon

17:34 Uhr, 18.06.2013

Hallo zusammen,

ich habe ein Fach in meinem Studium bei welcher ein sog. Resistverlauf durch eine Parabelgleichung dargestellt wird.
Graphisch wird die x-Achse logarithmisch von

10

bis

100

dargestellt. ( "in der Regel")

Nun ist bei manchen Aufgaben für gewisse Überlegungen notwendig, dass man die Gerade an der Nullstelle der Parabelfunktion aufstellt.

Nun sieht diese Gleichung beispielsweise so aus und ist zu Beginn der Aufgabe gegeben:

y = - 7,8 \cdot 10^{- 4} \cdot x^{2} + 8 \cdot 10^{- 3} \cdot x + 0,93

Es wird in der Aufgabe nicht erwähnt, dass man auf eine logarithmische Skalierung der x-Achse Acht geben soll. Also rechne ich einfach "linear".

Ich stelle die Tangentengleichung an der (positiven) Nullstelle

x_{1} = 40,0367

auf.

Hierzu leite ich die Funktion nach

x

ab, setze

x_{1}

ein und erhalte für die Steigung

m = - 0,0545

.

Den Achsenabschnitt

t

erhält man ja indem man einfach die Koordinaten der Nullstelle einsetzt.

t = 2,1820

Meine Tangentengleichung an der Nullstelle

x_{1}

lautet also:

y = - 0,0545 \cdot x + 2,1820

Nunja, ist im Prinzip ja kein Aufwand.
Nun wollte ich aber noch die Gerade aufstellen, wenn nun in der Aufgabe explizit verlangt wäre, dass die x-Achse logarithmisch skaliert ist. Das Ergebnis für gewisse Punkte sollte ja das gleiche sein, dachte ich.

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Nun muss man die x-Achse logarithmisch teilen. Dadurch ändert sich die Form der Kurve. Sie ist dann keine Parabel mehr. Die Nullstelle bleibt natürlich bei

40,0367,

nur, dass jetzt die Teilung der Rechtsachse nicht mehr linear ist.

Die Rechtsachse geht jetzt von

10

bis

100, d . h

. von

10^{1}

bis

10^{2}

.

Wenn man nun dazwischen 9 gleichverteilte Markierungen an der Rechtsachse anbringt, dann müssen diese mit

10^{1,1} = 12,59

10^{1,2} = 15,85

10^{1,3} = 19,95

usw. bis

10^{1,9} = 79,43

Wo befindet sich die Nullstelle

x_{1}

jetzt? Bei

10^{1,60246},

denn

log (40,0367) = 1,60246

.

Was man nun braucht, ist eine Funktion

y = f (x),

welche die neue Kurve beschreibt, wenn man für

x

die Zahlen

1; 1,1; 1,2; . .

. 2 einsetzt. Das ist die ursprüngliche Parabelfunktion, nur muss man jetzt anstelle von

x

schreiben:

10^{x}

Dann bekommt man

z . B

. an der Stelle

x = 1,3

erst einmal

x = 10^{1,3} = 19,95

und dann den Funktionswert, der zu diesem

x

gehört.

Also sieht die Gleichung der durch die logarithmische Darstellung verzerrten Parabel so aus:

y = - 7,8 \cdot 10^{- 4} \cdot {(10^{x})}^{2} + 8 \cdot 10^{- 3} \cdot 10^{x} + 0,93

Das kann man vereinfachen:

y = - 7,8 \cdot 10^{- 4} \cdot 10^{2 \cdot x} + 8 \cdot 10^{- 3} \cdot 10^{x} + 0,93

y = - 7,8 \cdot 10^{2 \cdot x - 4} + 8 \cdot 10^{x - 3} + 0,93

Gesucht ist nun die Steigung

m

dieser Kurve an der Stelle

x = 1,60246

Dazu muss man die Ableitung bilden:

y' = - 7,8 \cdot 2 \cdot ln (10) \cdot e^{(2 \cdot x - 4) \cdot ln (10)} + 8 \cdot ln (10) \cdot e^{(x - 3) \cdot ln (10)}

Wenn man hier

x = 1,60246

einsetzt, erhält man die gesuchte Steigung

m = - 5,0203

Aus

x

und

m

ergibt sich die Gleichung der Tangente:

y = - 5,0203 \cdot x + 8,04482

Das waren unsere Überlegungen zum Aufstellen der Tangengleichung bei logarithmischer Skalierung.

Noch einmal kurz zusammengefasst:
Für die lineare Skalierung lautet die Tangentengleichung:

y = - 0,0545 \cdot x + 2,1820

Für die logarithmische Skalierung:

y = - 5,0203 \cdot x + 8,04482

Nun möchte ich den x-Wert wissen an dem

y = 1

gilt.

lineare Tangengleichung ergibt:

x = 21,6881

logarithmische Tangentengleichung ergibt:

x = 1,4033 \to 10^{1,4033} = 25,3105

Und nach langem blabla: Wieso sind diese Werte nicht gleich? Es handelt sich doch in beiden Fällen um die gleiche Geradengleichung (nämlich die Tangente an der Nullstelle

x_{1})

. Somit sollte doch das gleiche Ergebnis herauskommen.

Weiß jemand weiter?
Hilfe wäre sehr angebracht, denn dann muss ich nochmal mit dem Prof. reden von welcher Skalierung man ausgehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

08:30 Uhr, 19.06.2013

Ohne auf Einzelheiten einzugehen, kann man sicher sagen, dass eine Gerade bei linearer Achsenteilung im halblogarithmischen KS keine "Gerade" ergibt. Solche Geraden sind die Graphen von Exponentialfunktionen. Im doppelogarithmischen System wären Geraden die Graphen von reinen Potenzfunktionen

y = x^{n}

. Die Mechanismen zum Auffinden einer Geradengleichung lassen sich nicht schlicht auf halblogarithmische KS übertragen.

Stinkebub aktiv_icon

10:35 Uhr, 20.06.2013

In Ordnung, danke!

1102232

1102013

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