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Geraden über mindestens 2 aus 5 Punkten
Schüler
Tags: Geometrie
 
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Aus einem Mathebuch der 5ten Klasse: (Zeichne 5 Punkte in Dein Heft.) Bestimme, wieviele Geraden sich bei 5 Punkten ergeben, wenn diese durch a) genau 2 Punkte verlaufen b) mindestens 2 Punkte verlaufen. a) ist relativ leicht zu erschliessen (5 * (5-1) / 2 = 10). Aber über b) brüten wir. Wir dachte zu erst an >2 Punkte auf der Geraden (zB die Geraden über AB, AC, AD, AE, ABC, ABD, ACD, ...., bis ABCDE genügen dem Kriterion, wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen), aber das kann nicht sein weil die Gerade ABCDE ja alle anderen Geraden einschliesst. Was kann hier die Antwort sein? Etwa auch 10? |
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Damit bei die Antwort richtig ist müsste man voraussetzen, dass von den 5 Punkten keine 3 Punkte kollinear sind. Die Anweisung "Zeichne 5 Punkte in Dein Heft" gibt das aber nicht her. Sind zB alle 5 Punkte kollinear, dann gibt es keine Gerade, welche genau durch 2 Punkte läuft und genau eine Gerade, welche durch mindestens zwei Punkte läuft. Sind die fünf Punkte so angeordnet wie die Punkte bei der Fünf auf einem Würfel, dann gibt es vier Geraden, welche genau durch zwei Punkte laufen und sechs Geraden, welche durch mindestens zwei Punkte laufen. Es lässt sich also keine konkrete Zahl als Lösung bei oder angeben. Es hängt von der Lage der Punkte zueinander ab. Was sich nur sagen lässt ist, dass die Maximalanzahl sowohl bei als auch bei ist und dass bei vorgegebenen fünf Punkten die Lösung für größer oder gleich jener von ist. Irgendwie scheint mir die Aufgabenstellung nicht sehr sinnvoll zu sein. |
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Danke für Deine Antwort. Wir haben auch Probleme mit der Aufgabenstellung. Evtl. habe ich das auch sinnentstellt wiedergegeben - der Auftrag, 5 Punkte zu zeichnen sollte sich aus den vorherigen Teilaufgaben ergeben. Er wird explizit aber nicht so genannt, und die Aufgabe wirkt eher wie eine Extrapolation aus dem vorher Erarbeiteten. Daher hier ein Foto der Aufgabe. Falls verboten, bitte löschen.  |
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Ein Scan des genauen Textes ist immer von Vorteil. Hier wird allerdings die Aufgabenstellung dadurch nicht besser - sie ist relativ sinnlos. Bestenfalls kann man sie so verstehen, dass die Anzahlen nur bezogen sind auf jene Punkte, die der Schüler ins Heft malt. Die Antworten können daher von Schüler zu Schüler unterschiedlich ausfallen und dennoch alle richtig sein. Ein vifer Schüler würde da die geforderten Punkte immer alle auf einer Geraden anordnen. Bei ist dann die Antwort "geht leider nicht!", bei muss der Schüler nur eine Gerade zeichnen und für und ist die Antwort dann wie schon oben erwähnt "0" bzw. "1". Ich würde sagen, dass die Aufgabenstellung, so wie sie formuliert ist, Schrott ist. Wenn man möchte, dass von den Punkte nie drei auf einer Geraden liegen, dann muss man das auch so fordern - nur macht dann die Unterscheidung in und keinen Sinn, denn "mindestens 2 Punkte auf der Geraden" bedeutet dann zwangsläufig auch "genau 2 Punkte". |
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Manchmal möchte man schon gern in die Köpfe der Aufgabensteller reinschauen... Eine interessante Frage zu dem Problemkreis hier wäre: Welche Gesamtanzahlen von Geraden durch mindestens zwei Punkte sind überhaupt möglich, d.h. über alle möglichen Konstellationen von 5 Punkten in der Ebene betrachtet? Antwort: 1,5,6,8,10 1 : alle fünf Punkte auf einer Geraden 5: vier Punkte auf einer Geraden, einer außerhalb 6: zweimal je drei Punkte auf einer Geraden (z.B. das von Roman genannte Beispiel "Punkte bei der Fünf auf einem Spielwürfel") 8: drei Punkte auf einer Geraden, die anderen beiden Punkte außerhalb ohne dass es weitere Geraden mit drei Punkten gibt 10: keine drei Punkte auf einer Geraden Generell hat man bei Punkten, von denen keine drei kollinear sind, genau solche Geraden. Sind nun doch der Punkte kollinear, so reduziert sich die Geradenanzahl um , was auch mehrfach passieren kann (siehe oben bei den mittleren Fall mit insgesamt 6 Geraden). Bei großen Punktanzahlen kann sowas natürlich sehr unübersichtlich werden - man denke nur mal an ein gleichabständiges quadratisches Gitter der Dimension mit genau Gitterpunkten. Für allgemeine Parameter da eine Formel für die Geradenanzahl aufzustellen bzw. zu beweisen, dürfte alles andere als trivial sein. ;-) |
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Eine korrekte/sinnvolle Formulierung von wäre: Zeichne drei Punkte in Dein Heft, sodass sich genau drei (ungleiche) Geraden und zeichnen lassen, die durch jeweils mindestens zwei der Punkte verlaufen. Dass die Geraden dann durch jeweils genau zwei der Punkte verlaufen, ist eine Konsequenz der Vorgabe. Die armen Kinder, sie werden verraten und verkauft. Sie wird dahingehend konditioniert, sich für dumm statt für schlau zu halten (aber gleichzeitig so zu tun, als seien sie schlau). Wie sollen sie Korrektheit und Exaktheit lernen, wenn ihnen das niemand vorlebt ? Ich hab gerade ein Informatikmodul an der Uni hinter mir, wo genau dieselbe Schlamperei abging. Die sind unfähig, irgendwas einfach nur richtig zu machen, außer mächtig einen auf dicke Hose (mit nichts dahinter). Der Schaden solcher Bücher ist also bereits voll an der Uni angekommen... |
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