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Geraden,Lotfußpunkt

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Harry20 aktiv_icon

20:55 Uhr, 26.02.2013

Guten Abend

Hab bei der Aufgabe ein Problem, unzwar wie kann man den Lotfußpunkt von einem Punkt auf einer Geraden bestimmen?
Ich kann zwar den Lotfußpunkt eines punktes auf der Ebene rechnen aber hier fehlt mir ein normalvektor und der abstand!

Aufgabe Konkret:

Die Gerade

g

sei durch die beiden Punkte

A (1,1,1)

und

B (- 1,3,2)

gegeben. Ferner sei ein Punkt

Q (- 2,5,8)

gegeben. Bestimmen Sie:

a)

den Fußpunkt

S

des Lotes von

Q

auf

g

b)

den Abstand von

Q

g

c)

eine Gleichung der Geraden

h

durch

Q

senkrecht zu

g

.

zu

b)

krieg ich hin
zu

c)

ich brauch da glaub ich einen Normalvektor um die Gleichung aufzustellen, nur wie

zu

a)

weiss nicht genau wie ich da rangehen muss

Vielen dank im voraus

gruß Harry20

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:00 Uhr, 26.02.2013

Suche die Hilfsebene durch

Q

und senkrecht zu

g

Harry20 aktiv_icon

21:05 Uhr, 26.02.2013

ich kann doch ein vektor als richtungsvektor bestimmen in dem ich bspw. A als Aufpunkt.
ich rechne dann

B - A

und somit erhalte ich ein Richtungsvektor. Aber um eine ebene zu schlißen, benötige ich noch einen richtungsvektor! Woher kireg ich den?

anonymous

21:16 Uhr, 26.02.2013

Nimm für die Hilfsebene

Q

als Aufpunkt und Vektor

{

AB} als Normalenvektor.

Harry20 aktiv_icon

21:20 Uhr, 26.02.2013

ich verstehe nicht ganz?

muss ich hier A kreuz

B

rechnen?

anonymous

21:23 Uhr, 26.02.2013

Nein. A und

B

sind doch Punkte. Der Vektor, der

A

in den Punkt

B

verschiebt, ist der richtige Normalenvektor für die Hilfsebene. Sie leigt dann senkrecht zur Gerade

g

Harry20 aktiv_icon

21:28 Uhr, 26.02.2013

ok ich mach das was du gesagt hast

Q

als aufpnkt wählen

g : \vec{x} = (- 2 | 5 | 8) + t \cdot (- 1 | 4 | - 7)

dann wäre ein richtungsvektor der geraden

(- 1 | 4 | - 7)

weiter weiss ich es nicht

anonymous

21:44 Uhr, 26.02.2013

Sorry, du braucht keine Hilfsgerade, sondern eine Hilfsebene. In der Normalenform hat sie die Gleichung

(\vec{x} - \vec{q}) \cdot \vec{n} = 0

dabei ist

\vec{q}

der Ortsvektor des Punktes

Q

und der Normalenvektor

\vec{n}

der Vektor

\vec{A} B

anonymous

21:56 Uhr, 26.02.2013

Jetzt klappt das mit dem Latex besser.
Deine Ebene hat die Gleichung:

E : [(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 5 \\ 8 \end{array})] \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = 0

oder in Koordinatenform:

E : - 2 x + 2 y + z = 22

Harry20 aktiv_icon

23:03 Uhr, 26.02.2013

Super...danke für den lösungsweg!

laut einer Formel muss ein

λ

existieren, um den lotfußpunkt zu errechnen.

die formel lautet

λ = \frac{\vec{p} \cdot \vec{n} - d}{{| \vec{n} |}^{2}}

somit wäre mein Lotfuspunkt

\vec{f} = \vec{p} - λ \cdot \vec{n}

in der Ebenengleichung ist aber kein

λ

BeeGee aktiv_icon

15:30 Uhr, 27.02.2013

Hallo!

Alternativ ein anderer Weg ohne Hilfsebene: stelle Dir vor, der Punkt

S

wandert auf der Geraden

g

entlang. Wenn

S

so liegt, dass der Vektor

\vec{Q S}

senkrecht auf

g

steht, hast Du den Lotfußpunkt gefunden.

\vec{O S}

allgemein:

\vec{O S} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 2 s \\ 1 + 2 s \\ 1 + s \end{matrix})

Damit:

\vec{Q S} = (\begin{matrix} 1 - 2 s \\ 1 + 2 s \\ 1 + s \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - 2 s \\ - 4 + 2 s \\ - 7 + s \end{matrix})

\vec{Q S}

senkrecht auf

g

stehen soll, muss das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von

g

Null ergeben:

\vec{Q S} \cdot \vec{r_{g}} = 0

(\begin{matrix} 3 - 2 s \\ - 4 + 2 s \\ - 7 + s \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = 0

. .

. .

s = \frac{7}{3}

Damit kannst Du nun

S

und alles weitere ausrechnen.

S (- \frac{11}{3} | \frac{17}{3} | \frac{10}{3})

Harry20 aktiv_icon

17:50 Uhr, 27.02.2013

Klasse danke für dein Lösungsvorschlag! Hab die aufgabe auch so ähnlich gelöst! aber deinen Lösungsweg scheint auch interessant zu sein. Ich werd ihn mir auch anschauen!

Gruß Harry20

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