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Geradengleichung aus Punkt und Richtungswinkeln

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Richtungsvektor, Richtungswinkel, Vektor, vektorgerade

djangogonzales

15:52 Uhr, 19.06.2016

Hi Leute! Ich knobel jetzt schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe herum. Ich habe im dreidimensionalen Raum einen Punkt P

(\begin{array}{rcl} 5 \\ 3 \\ 1 \end{array})

und folgende Richtungswinkel gegeben:

α = 3 0^{\circ}

β = 9 0^{\circ}

und die Bedingung

c o s γ < 0

.

Ich soll mit den Angaben die Gleichung der Geraden bestimmen.

Der Ansatz ist klar mit

\vec{x} = (\begin{array}{rcl} 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r * R V

(RV=Richtungsvektor)

Mir fehlt also der Richtungsvektor, den ich irgendwie mithilfe des Stützvektors P und den Winkeln berechnen soll. Leider finde ich dazu nirgends Formeln und auch in diesem Forum keine vergleichbare Aufgabe. Die einzigen Formeln, die ich mit der Aufgabe verbinden kann sind die des Richtungskosinus. Aber diese helfen mir nicht weiter, weil ich ja den Betrag des RV nicht gegeben habe, bzw. nicht sicher bin, wie ich diesen aus der Aufgabe heraus berechnen soll.

Die Richtung der Geraden weiß ich ungefähr. Sie schneidet ja die X-Achse mit 30 Grad und die y-Achse mit 90 Grad. Für den Y-Wert im RV ergibt sich also schon mal 0, weil ja

c o s 9 0^{\circ} = 0

ergibt.

Die Bedingung mit

c o s γ < 0

hab ich noch nicht verstanden. Logischerweise wäre ja

γ = 6 0^{\circ}

, aber

c o s 6 0^{\circ}

ist eben nicht kleiner 0.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Roman-22

17:12 Uhr, 19.06.2016

>

Logischerweise wäre ja γ=60∘
Ja, oder auch 120° oder -60° oder 240° oder -240°.

Alles hängt davon ab, wie die Winkel genau definiert sind! Einfach nur "

γ

ist der Winkel zwischen dem Richtungsvektor und dem Einheitsvektor in z-Richtung " zu sagen, ist zu wenig! Wie wird der Winkel gemessen, in welchem Bereich bewegt sich der Winkel (0° bis 360°, oder -180° bis +180°, oder 0° bis 180°)? Wie soll der Winkel orientiert sein?

djangogonzales

17:15 Uhr, 19.06.2016

Okay danke schonmal für die Antwort.

"Wie wird der Winkel gemessen, in welchem Bereich bewegt sich der Winkel (0° bis 360°, oder -180° bis +180°, oder 0° bis 180°)? Wie soll der Winkel orientiert sein?"

Das geht aus der Aufgabenstellung nicht hervor. Ich habe nur den Punkt und die zwei Winkel, plus der Bedingung für cosγ<0 gegeben.

Roman-22

17:18 Uhr, 19.06.2016

Ihr müsst irgendwo festgelegt haben, was

α, β

und

γ

zu bedeuten haben.
Wenn schon nicht explizit in der Angabe, dann wenigstens implizit im Unterricht.

djangogonzales

17:20 Uhr, 19.06.2016

Okay stimmt, der Prof hat gemeint wir betrachten nur spitze Winkel von 0 bis 90 Grad. Hilft das weiter?

Roman-22

17:35 Uhr, 19.06.2016

Nein, das ist Unsinn! Wie sollte denn ein spitzer Winkel einen negativen Kosinuswert haben?
Damit kommst du nie auf die Lösung

\vec{r} = {(3; 0; - \sqrt{3})}^{T}

djangogonzales

17:49 Uhr, 19.06.2016

Ich habe die Lösung zu der Aufgabe, die lautet:

\vec{x} = (\begin{array}{rcl} 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s * (\begin{array}{rcl} \sqrt{3} \\ 0 \\ - 1 \end{array})

.

Aus der Lösung hab ich jetzt mal den Betrag des Richtungsvektors durch umstellen des Richtungskosinus errechnet. Der Betrag ist 2. Das heißt, wenn ich für

γ = 6 0^{\circ}

einsetze kommt in der Rechnung für den z-Wert des Richtungsvektors

c o s 6 0^{\circ} * 2 = 1

. Da ja die Bedingung

γ < 0

könnte ich ja einfach den negativen Wert nehmen? Somit komm ich auf die

- 1

.

Vielleicht meint er aber mit dem

γ < 0

einfach, dass hier der stumpfe Winkel, nämlich die 60 Grad in die andere Richtung, also 120 Grad benutzt werden soll.

c o s 12 0^{\circ}

ergibt ja die

- 0, 5

, die ich dann mit dem Betrag

2

mal nehme.

Macht das Sinn?

djangogonzales

17:57 Uhr, 19.06.2016

Wenn ich das jetzt mit dieser Deutung rechnen will, komm ich auf folgendes:

\vec{x} = (\begin{array}{rcl} 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s * (\begin{array}{rcl} \cos (30)^{\circ} * ⌈ a ⌉ \\ c o s (90)^{\circ} * ⌈ a ⌉ \\ c o s (120)^{\circ} * ⌈ a ⌉ \end{array})

Aber wie kann ich hier jetzt meinen Betrag berechnen?

Roman-22

18:01 Uhr, 19.06.2016

Die Lösung ist richtig und stimmt auch mit der, die ich vorhin angab, überein. Mein Richtungsvektor ist bloß das

\sqrt{3} -

fache von jenem, der in deiner Lösung angegeben ist.

Es ist eben immer alles eine Frage der Definition und bevor nicht geklärt ist, wie ein gegebener Winkel genau definiert ist, ist es müßig, sich weiterführende Gedanken zu machen!

Ihr verwendet vermutlich zur Bestimmung des (unorientierten) Winkels zwischen zwei Vektoren die Formel

φ = a r c c o s \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

.

Dadurch wird eine Einschränkung auf

0^{\circ} \leq φ \leq 180^{\circ}

impliziert und der Winkel zwischen

\vec{a}

und

\vec{b}

ist genau der gleiche wie zwischen

\vec{b}

und

\vec{a}

(eben unorientiert).

Dann solltet ihr definiert haben, dass

α

der, wie oben ausgeführt gemessene, Winkel zwischen dem positiv orientierten Richtungsvektor der x-Achse, zB

{(1; 0; 0)}^{T}

und einem bestimmten Richtungsvektor der Geraden ist. Analog für

β

und

γ

.
Hier beginnt die Aufgabe weich zu werden, da ein mit

- 1

multiplizierter Geradenvektor die gleiche Gerade beschreibt, aber gemäß dieser Definition andere Winkel ergibt!! Es sollte also in der Angabe heißen, dass

α

der Winkel zwischen der orientierten x-Achse und einem in bestimmter Weise orientierten Richtungsvektor der Geraden ist. Du hast leider den genauen Wortlaut der Angabe hier nicht wiedergegeben.

Mit

α = 30^{\circ}

und

β = 0^{\circ}

bleiben dann ohnedies nur mehr die beiden Möglichkeiten

{\vec{r}}_{1} = λ \cdot (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

{\vec{r}}_{2} = λ \cdot (\begin{matrix} - \sqrt{3} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

übrig, jeweils mit

λ \in ℝ^{+}

(negative Vielfache führen zwar auf die gleiche Gerade, aber andere Winkel).

Wegen

cos γ < 0

muss dann eben die Entscheidung zu Gunsten von

{\vec{r}}_{2}

fallen. Der Winkel

γ = 120^{\circ}

.

Der Vektor

- {\vec{r}}_{2}

führt zwar zur gleichen Geraden, nur wäre da

α = 150^{\circ}

und

γ = 60^{\circ},

also

cos γ = 0,5 > 0

R

djangogonzales

18:15 Uhr, 19.06.2016

Ich hab es mal versucht nachzuvollziehen, ganz verstanden hab ich es aber noch nicht.

Die Aufgabenstellung ist nur:

"Von einer Geraden g ist der Punkt P(...) und der Richtungsvektor mit folgenden Eigenschaften bekannt: (60 grad, 90 grad und gamma kleiner 0)
Wie lautet die Gleichung der Geraden?"

Also definiert ist da nicht wirklich viel :-)

Ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich die einzelnen x,y, und z-Werte denn nun berechne. Könntest du bitte deinen Rechenweg aufschreiben? Ich brauche ja von irgendwoher den Betrag des Richtungsvektors wenn ich mit dem Richtungskosinus arbeite. Da hängts bei mir noch.

Roman-22

18:26 Uhr, 19.06.2016

>

Also definiert ist da nicht wirklich viel :-)
Muss es aber sein. Vermutlich dann eben im Vorlesungsskript, denn wenn ich einen Vektor durch drei Winkel angeben, muss ich irgendwo festlegen, was ich unter diesen zu verstehen habe.

Rechengang brauchts hier keinen, aufgrund der einfachen Winkellage. Wegen

β = 0

spielt sich das Ganze in der x-z-Ebene ab und wenn da ein Vektor mit

{(1; 0,0)}^{T}

den Winkel 30° einschließen soll, dann bleiben nur zwei Richtungen

(1; 0; {tan 30}^{\circ})

oder eben

(1; 0; - {tan 30}^{\circ})

. Nur bei der zweiten Variante ist aber das Skalarprodukt mit

{(0; 0,1)}^{T}

negativ und somit ist das ein möglicher Richtungsvektor

\to (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix})

. Den darfst du noch mit beliebigen Konstanten multiplizieren.
Multipliziert mit 3 ergibt sich

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - \sqrt{3} \end{matrix}),

wie von mir erst angegeben, multipliziert mit

\sqrt{3}

ergibt sich

(\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}),

wie in deiner Musterlösung.
Die Länge des Richtungsvektors spielt ja keine Rolle.

R

P . S . :

Noch eine letzte Anmerkung. In deinem letzten Posting hast du beinahe schon eine allgemeine Formel zur Bestimmung des Vektors angegeben. Dieses

a

in den Gaußklammern lässt du aber besser weg.

Allgemein gilt eben

\vec{r} = (\begin{matrix} cos α \\ cos β \\ cos γ \end{matrix})

. Vielleicht hast du das auch irgendwo in deinen Unterlagen stehen und solltest es bloß verwenden?
Also erst schließen, dass

γ = 120^{\circ}

sein muss und dann einfach einsetzen:

\vec{r} = (\begin{matrix} cos α \\ cos β \\ cos γ \end{matrix}) = (\begin{matrix} {cos 30}^{\circ} \\ {cos 0}^{\circ} \\ {cos 120}^{\circ} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

djangogonzales

18:40 Uhr, 19.06.2016

Okay jetzt hab ich es endlich kapiert! Vielen Dank für deine Hilfe! :-) Ich frag meinen Prof vorsichtshalber nochmal nach den genauen Definitionen für die Prüfung.

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