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Geradengleichung durch zwei Punkte im Raum!
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Gleichungssysteme
Tags: Gleichungssystem
 
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Hi, ich habe folgendes Problem: 5. Aufgabe Gegeben sind die beiden Punkte und . Stellen Sie die Vektorgleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte verläuft, in der Punkt‐Richtungs‐Form auf. Ergänzen Sie die fehlenden Koordinaten bei den nachstehenden Punkten so, dass die Punkte auf der Geraden liegen: . Lösung: Also ich habe keine Ahnung wie man das mit der Punkt richtungs Form machen soll, dachte da muss ein Punkt und ein Richtungsvektor gegeben sein und nicht zwei Punkte. (gehe davon aus das die 2 Punkt Form gemeint ist) Damit bekomme ich hin, indem ich einfach nach der Formel für die zwei Punktegleichung vorgehe. Aber keine Ahnung und was das für ein Parameter ist, habe ich auch noch nicht verstanden. Wäre nett wenn mich da einer aufklären könnte Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Aus Deiner Art der Fragestellung schließe ich, dass Du zwar die Gleichungen kennst, die z.B. zu der Gerade führen, aber nicht verstanden hast, wie das eigentlich 'funktioniert' bzw. alles zusammen spielt. Tipp: versuche Dir das alles graphisch vorzustellen, bzw. mache eine Zeichnung. Der Parameter in der Geradengleichung ist so etwas wie eine Koordinate, die einen Ort auf der Geraden beschreibt. Setze für irgendeinen Wert ein, und Du erhältst irgendeinen Punkt auf der Geraden im Raum (hier 3D). Dadurch, dass jeden Werte annehmen kann, beschreibt die Gleichung auch jeden Punkt auf der Geraden. Soll z.B. der Punkt auf der Geraden liegen, so muss er auch die Geradengleichung erfüllen. Natürlich nur für genau einen Wert von (nenne ich hier mal ), denn es ist ja auch nur ein Punkt - also: Somit erhält man drei Gleichungen für die drei Raumrichtungen und . Aus der mittleren Gleichung folgt, dass ist. Damit erhält man für und und . rein anschaulich beschreibt eine Ebene, die parallel zu der XZ-Ebene liegt und für die stets ist. Der oben bestimmte Punkt ist der Schnittpunkt der Geraden mit eben dieser Ebene. Gruß Werner |
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Alles kla, genau das ist mein Problem habe in der Vorlesung nicht so richtig verstanden worum es eigentlich geht und jetzt versuche ich das alles nachzuvollziehen. Ich danke dir erstmal und werde mich jetzt erstmal mit deinem Lösungsweg beschäftigen. Ich werde mit sicherheit noch rückfragen haben aber für heute reichts aber besten dank. |
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Alles kla jetzt hab ich es :-D) ! Zwar noch nicht ganz verstanden warum das alles so ist aber die richtigen Koordinaten hab ich jetzt schon einmal. Noch mal eine kurze verständnis Frage: Warum muss ich wenn ich den Richtungsvektor für die Punkt richtungs Form ausrechne (aus den beiden gegebenen Punkten) Punkt A von Punkt abziehen und nicht ander herum? |
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Das ist im Prinzip egal, weil der Richtungvektor ja nur die Richtung der Geraden angibt. Wenn du Punkt von A abzeihst, geht der Richtungsvektor genau in die entgegengesetzte Richtung. Aber da eine Gerade ja unendlich lang ist, kannst du abziehen was du willst. Bei ner Ebene siehts dann anders aus, deswegen gewöhn dich besser dran immer den Ortsvektor als Subtrahenden zu nehmen |
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Und woran erkenne ich welcher von beiden der Ortsvektor ist? Also im Grunde sind beide Punkte doch Ortsvektoren und die Gerade ist somit die undendliche Menge von Ortsvektoren!? (so die definition in Mathematik für ingenieure1) von Lothar Papula Ich hab leider probleme mir diese allgemeinen Definitionen klar zu machen |
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Ein Ortsvektor gehört immer zu einem Punkt und führt vom Ursprung zu eben diesem Punkt. Von daher haben beide Punkte, durch welche die Gerade verlaufen soll, jeder seinen Ortsvektor. Im Gegensatz zu Geraden im dort kennst du vielleicht noch hat eine Gerade in vektorieller Form keine eindeutige Gleichung, sondern auf den ersten Blick sehr verschiedene Gleichungen können dieselbe Gerade beschreiben. Das liegt daran, dass man zur Beschreibung nur irgendeinen Punkt auf der Greraden und einen Richtungsvektor braucht. Der Punkt heißt Aufpunkt oder Stützpunkt und sein Ortsvektor dementsprechend Aufpunktvektor oder Stützvektor. Wenn du zwei Punkte hast, kannst du dir aussuchen, welcher von beiden der Aufpunkt sein soll. Der Vektor von dort zum zweiten Punkt ist dann der Richtungsvektor, wobei es im Prinzip egal ist, ob man erster minus zweiter oder umgekehrt rechnet, der Richtungsvektor macht dann bloß eine Kehrtwendung und alle Parameter in der Gleichung kommen dann als negative Werte vor. Auch bei Ebenen ist das übrigens egal, der Einwand von hoffi ist nicht zutreffend. |
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Super, jetzt blick ich durch Danke an alle |
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der vektor AB (2-13)beschreibt, wie man zum punkt A und B erzählt bestimmen so die koordinaten des fehlenden punktes |
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