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Geschlossene Form Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

anonymous

12:00 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

Ich lerne aktuell für eine Klausur in Analysis 2 und hänge an den geschlossenen Formen von Potenzreihen. Speziell an den folgenden :

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (n - 2) x^{n}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} (2 n - 3) x^{2 n}

Ich weiß, dass die Summe für die geometrische Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}

ist. Außerdem haben wir in den Übungen

\sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1 - x)^{2}}

berechnet. Den Beweis dafür habe ich auch verstanden. Leider weiß ich nicht, wie ich diese Reihen so umformen kann, dass ich am Ende eine geschlossene Form erhalte.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe.

VG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:24 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

da sich konvergierende Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzgebiets maximal gütig (absolute Konvergenz) verhalten, dürfen sie umsortiert (und auseinander gezogen) werden.

Beginnen wir mal mit der ersten:

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (n - 2) x^{n} = (\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot (- 1)^{n} \cdot x^{n}) - 2 \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n})

Kannst du nun eine geschlossene Formel finden?

Die andere machen wir später!

Mfg Michael

anonymous

13:22 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

Das hat mir auf jeden Fall schonmal sehr geholfen. Ich würde dann so vorgehen :

\sum_{n = 0}^{\infty} n (- x)^{n}

\frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} (- x)^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{d x} (- x)^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} n (- x)^{n - 1}

und

\frac{d}{d x} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{(1 + x)^{2}}

(- x) \sum_{n = 0}^{\infty} n (- x)^{n - 1} = (- x) * \frac{1}{(1 + x)^{2}} = - \frac{x}{(1 + x)^{2}}

Zusammen mit dem anderen Teil würde ich dann auf

- \frac{x}{(1 + x)^{2}} - 2 * \frac{1}{(1 - x)} = - \frac{x}{(1 + x)^{2}} - \frac{2}{(1 - x)}

kommen. Ist das so richtig?

VG

michaL aktiv_icon

15:14 Uhr, 08.10.2019

Hallo,

noch einmal eine Formel für

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot x^{n}

brauchst du nicht herzuleiten. Du musst nur erkennen, dass i der Formel

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot x^{n} = \frac{x}{(1 - x)^{2}}

jedes

x

durch

- x

ersetzt werden muss, um von

\sum_{n = 0}^{\infty} n (- x)^{n}

- \frac{x}{(1 + x)^{2}}

zu kommen.

Aber du hast es trotzdem insgesamt richtig gemacht.

Hast du nun eine Idee, wie man

\sum_{n = 0}^{\infty} (2 n - 3) x^{2 n}

angehen könnte?

Mfg Michael

HAL9000

15:48 Uhr, 08.10.2019

> Aber du hast es trotzdem insgesamt richtig gemacht.

Nicht ganz, am Ende sollte

- \frac{2}{1 + x}

statt

\frac{2}{1 - x}

stehen.

> jedes x durch -x ersetzt werden muss

Mit solchen Dingen haben manche nicht so mathematisch sattelfesten Leute erfahrungsgemäß Probleme, womöglich auch CrazyGhosty. Vermutlich ist es daher didaktisch günstiger, das

x

aus den beiden bekannten Reihen von den

x

aus den zu bestimmenden Reihen symbolisch zu trennen.

D.h., wir gehen davon aus, dass

g_{0} (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z}

g_{1} (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} n z^{n} = \frac{z}{(1 - z)^{2}}

bekannt ist, gültig für alle reellen (und sogar auch komplexen)

z

mit

∣ z ∣ < 1

.

a) Es ist

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (n - 2) x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n - 2) (- x)^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} n (- x)^{n} - 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (- x)^{n}

= g_{1} (- x) - 2 g_{0} (- x) = \frac{- x}{(1 + x)^{2}} - \frac{2}{1 + x}

b) Ganz ähnlich, nur mit anderem Argument für

g_{0}, g_{1}

. Dazu beachte Potenzregel

x^{2 n} = {(x^{2})}^{n}

bei der Umformung der Reihen hin zu den gewünschten Strukturen.

anonymous

17:17 Uhr, 08.10.2019

Oh, ja Vorzeichenfehler passieren mir hin und wieder mal. Aber danke für die nette Hilfe. Mit dem

g_{0} (z)

und

g_{1} (z)

Ansatz ist es tatsächlich besser verständlich. Danke!

Für die andere Aufgabe würde ich dann so vorgehen :

\sum_{n = 0}^{\infty} (2 n - 3) x^{2 n} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} n (x^{2})^{n} + 3 \sum_{n = 0}^{\infty} (x^{2})^{n} = \frac{2 x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} + \frac{3}{1 - x^{2}}

Wäre das für die andere Reihe dann korrekt?

HAL9000

18:52 Uhr, 08.10.2019

Fast Ok, aber leider hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

Denn da steht ja nicht

(2 n + 3)

sondern

(2 n - 3)

. Entsprechend ist das Ergebnis

\frac{2 x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} - \frac{3}{1 - x^{2}}

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