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Geschlossener Ausdruck für Summe von Quadratzahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: geschlossener Ausdruck, Quadratzahl, Summe

Roxonism aktiv_icon

16:50 Uhr, 02.02.2016

Hallo,
ich knoble schon einige Zeit an der Aufgabe: Finde einen geschlossenen Ausdruck für

\sum_{k = 0}^{n} k ³

.

Zuvor wurde der Satz(1): Für alle

n \in ℕ

gilt:

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{2} * n * (n + 1)

,
der Satz(2): Für alle

n \in ℕ

gilt:

\sum_{k = 1}^{n} k ² = \frac{1}{6} * n * (n + 1) * (2 n + 1)

,
und das Korollar: Für alle

n \in ℕ

gilt:

\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n ²

.
bewiesen.

Ich habe erst ein paar spontane Vermutungen überprüft. Danach habe ich versucht, Den Schritt von dem Satz(1) zu Satz(2) zu analysieren, habe aber den Schritt nicht durschschaut. Ich dachte, dass ich ein Prinzip, ähnlich der Umsortierung der natürlichen Zahlen in einer Summe von geraden Zahlen von 1 bis n, wie es Carl Friedrich Gauß im Satz(1) gemacht haben soll. Ich habe aber so ein Prinzip nicht erkennen können.
Ich habe den Satz 2 umgeformt in:

\sum_{k = 1}^{n} k ² = \frac{1}{2} * n * (n + 1) * \frac{1}{3} * (2 n + 1)

, ich bin dadurch aber ebenfalls nicht auf das Prinzip dahinter gekommen.

Könnte mir jemand einen Hinweis oder einen Tipp geben? Das wäre super.

Gruß Roxonism

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

16:54 Uhr, 02.02.2016

Hallo,

vielleicht ist dir augefallen, dass
*

\sum_{k = 0}^{n} k^{1}

ein Polynom in

n

vom Grad 2 ist und
*

\sum_{k = 0}^{n} k^{2}

ein Polynom in

n

vom Grad 3 ist?

Welcher Grad ist dann für

\sum_{k = 0} n^{k}

zu erwarten?
Wie kann man die Koeffizienten herausbekommen?

Was wäre abschießend zu tun?

Mfg MIchael

Roman-22

16:55 Uhr, 02.02.2016

Wenn du einen begründeten Verdacht hast, so könntest du diesen dann mittels vollständiger Induktion beweisen.
Und Michals Vorschlag könnte dir zu so einem Verdacht verhelfen. Induktion iost danach sicher einfacher, als allgemein zu beweisen, dass die geschlossene Formel immer ein Polynom von um Eins höheren Grad ist.
Vielleicht hilft auch das

\to

de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersche_Formel

R

michaL aktiv_icon

17:00 Uhr, 02.02.2016

Hallo,

ich habe einen Vertipper im letzten posting.

Die erste Frage sollte lauten:
Welchen Grad könnte dann

\sum_{k = 0}^{n} k^{3}

haben?

Mfg Michael

Roxonism aktiv_icon

07:59 Uhr, 03.02.2016

Vielen Dank für die schnelle Antworten michaL und Roman-22. Ich versuche damit weiterzuarbeiten.

Gruß Roxonism

abakus

08:05 Uhr, 03.02.2016

Hallo Roxonism,
vor lauter hochgestochener Expertenmathematik vergisst du das Elementarste:
Stelle doch die ersten Folgenglieder auf.
1
1+8=9
1+8+27=36
1+8+27+64=100

Spätenstens an der Stelle solltest du bemerken, dass alle Ergebnisse Quadratzahlen sind.
Somit ist eine Bildungsvorschrift herauszufinden für die Zahlen, die dafür jeweils quadriert werden mussten (1, 3, 6, 10,...).

DrBoogie aktiv_icon

10:03 Uhr, 03.02.2016

Ich weiß nicht, ob diese Idee schon erwähnt wurde, also zeige ich sie.

Angenommen, wir wissen schon, dass

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

ist.
Dann können wir auf folgende Weise

\sum_{k = 1}^{n} k^{2}

herleiten:
für jedes

k

gilt

(k + 1)^{3} = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1

. Wenn wir diese Gleichung summieren, bekommen wir

\sum_{k = 1}^{n} (k + 1)^{3} = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 3 \sum_{k = 1}^{n} k + n

, also

3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = (\sum_{k = 1}^{n} (k + 1)^{3} - \sum_{k = 1}^{n} k^{3}) - 3 \sum_{k = 1}^{n} k - n = (n + 1)^{3} - 1 - 3 \frac{n (n + 1)}{2} - n

, woraus

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{2 (n + 1)^{3} - 2 - 3 n (n + 1) - 2 n}{6} = \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6}

.

Genauso geht es weiter, jetzt mit

\sum_{k = 1}^{n} k^{3}

:
für jedes

k

gilt

(k + 1)^{4} = k^{4} + 4 k^{3} + 6 k^{2} + 4 k + 1

.
Wenn wir diese Gleichung summieren, bekommen wir

\sum_{k = 1}^{n} (k + 1)^{4} = \sum_{k = 1}^{n} k^{4} + 4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + 6 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 4 \sum_{k = 1}^{n} k + n

, also

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} (k + 1)^{4} - \sum_{k = 1}^{n} k^{4}) - 6 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{n} k - n =

= (n + 1)^{4} - 1 - (2 n^{3} + 3 n^{2} + n) - 4 \frac{n (n + 1)}{2} - n = (n + 1)^{4} - 1 - (2 n^{3} + 3 n^{2} + n) - 2 n (n + 1) - n =

= n^{4} + 2 n^{3} + n^{2} = (n (n + 1))^{2}

.

Daraus die Formel

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{(n (n + 1))^{2}}{4}

.

Das ist zwar viel Rechnerei, aber hier sieht man, das man die Formel ohne einen künstlichen Ansatz auch bekommen kann.

Roxonism aktiv_icon

11:44 Uhr, 08.02.2016

Hallo und entschuldigung, dass ich erst jetzt Antworte.
DrBoogie, gibt es irgendwelche Hinweise durch die Aufgabenstellung oder den vorher bekannten Beweisen, die jemanden auf so eine Herangehensweise bringen können, oder ist es eher ein Weg, der aus Probieren folgen kann?
Ich kann bei deiner Rechnung, bei dem Rechenschritt, den ich als Bild hinzugefügt habe, nicht nachvollziehen, woher die 1 bei

(n + 1)^{3} - 1 - 3 * \frac{n * (n + 1)}{2} - n

herkommt. Könntest du mir das erklären?

Ich habe den geschlossenen Ausdruck jetzt über die allgemeine Formel für ein Polynom 4. Grades, die Einsetzung von n-Werten als x-Koordinaten und

s u m_{k = 1}^{n} n ³

-Werten als y-Koordinaten für 5 verschiedene n-Werte und anschließende Lösung des entstandenen linearen Gleichungssystems herausbekommen. Anschließend habe ich das Ergebnis mit der vollständigen Induktion bewiesen.

Ich bedanke mich schonmal für eure Hilfe.

Gruß Roxonism

DrBoogie aktiv_icon

11:58 Uhr, 08.02.2016

"DrBoogie, gibt es irgendwelche Hinweise durch die Aufgabenstellung oder den vorher bekannten Beweisen, die jemanden auf so eine Herangehensweise bringen können"

Schwer zu sagen. Ich bin auf diese Idee nicht selber gekommen, jemand hat es mir gezeigt. Intuitiv würde ich sagen, dass dieser Weg schwer zu finden ist. Aber jemand hat es doch geschafft.

\sum_{k = 1}^{n} (k + 1)^{3} - \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \sum_{k = 1}^{n} ((k + 1)^{3} - k^{3}) =

= (2^{3} - 1^{3}) + (3^{3} - 2^{3}) + . . . + (n^{3} - (n - 1)^{3}) + ((n + 1)^{3} - n^{3}) = (n + 1)^{3} - 1

, andere Summanden eliminieren sich gegenseitig.

Roxonism aktiv_icon

09:38 Uhr, 10.02.2016

Okay, dann weiss ich bescheid ;-) Die Möglichkeit, die Summenoperation auf zwei Seiten einer Gleichung anzuwenden, kannte ich noch nicht, deshalb wäre ich da vermutlich ohnehin nicht darauf gekommen, da habe ich schon wieder etwas dazugelernt :-)

Vielen Dank nochmals für deine Hilfe DrBoogie.

Grüßle Roxonism

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