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Gewichtete Standardabweichung berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Gewichteter Mittelwert, Standardabweichung

zachy aktiv_icon

08:56 Uhr, 19.01.2022

Hallo ins Forum,

ich möchte die gewichtete Standardabweichung für folgende Daten berechnen:

Liter - Preis

50 - 1,10

€

30 - 1,05

€

60 - 1,40

€

(Leider weiß ich nicht, wie man hier Tabellen einfügen kann. Ich habe aber ein Bild der Tabelle angefügt.)

Im Netz habe ich dazu folgendes gefunden:
statologie.de/gewichtete-standardabweichung-excel
(Siehe Formel im zweiten Bild.)

Leider gibt es auf der Seite keine Erklärung. Was ich an der Formel nicht verstehe, ist der Ausdruck

\frac{M - 1}{M}

im Nenner des Bruchs.

Kann mir jemand sagen, was es damit auf sich hat und wie ich die gewichtete Standardabweichung korrekt berechne?

Herzliche Grüße
zachy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

09:25 Uhr, 19.01.2022

Dieser Korrekturfaktor

\frac{M - 1}{M}

soll wohl einfach dafür sorgen, dass diese sogenannte gewichtete Standardabweichung im Falle gleicher Gewichte

w_{1} = \dots = w_{N} \neq 0

der üblichen Formel der Standardabweichung entspricht.

Wenn man es von vornherein ausschließlich mit Gewichten

w_{i} \neq 0

zu tun hat, dann kann man auch gleich

M = N

setzen.

Gemeint ist das für die Beispiel-Tabelle wohl so:

N = M = 3

mit

w_{1} = 50, x_{1} = 1, 10

w_{2} = 30, x_{2} = 1, 05

w_{3} = 60, x_{3} = 1, 40

Allerdings finde ich diese Formel der gewichteten Standardabweichung in sich inkonsistent: Ändern wir das Beispiel ab in

N = M = 4

mit

w_{1} = 50, x_{1} = 1, 10

w_{2} = 30, x_{2} = 1, 05

w_{3} = 30, x_{3} = 1, 40

w_{4} = 30, x_{4} = 1, 40

,

dann liefert diese Formel eine komplett ANDERE Standardabweichung, obwohl es inhaltlich eigentlich dieselben Daten sind - das ist schwer akzeptabel.

Ich könnte mich eher mit der Formel

\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} w_{i} {(x_{i} - {\overline{x}}^{*})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{N} w_{i}}}

OHNE diesen Korrekturfaktor

\frac{M - 1}{M}

anfreunden, weil die entspricht exakt der unkorrigierten Standardabweichung

\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{N} n_{i} {(x_{i} - {\overline{x}}^{*})}^{2}}

für eine Stichprobe bestehend aus jeweils

n_{i}

Werten der Größe

x_{i}

(für

i = 1, \dots, N

) und Gesamtstichprobengröße

n = \sum_{i = 1}^{N} n_{i}

, und wenn man etwa die Gewichte als die relativen Anteile

w_{i} = \frac{n_{i}}{n}

wählt. Für

n \to \infty

bei ansonsten gleichbleibenden (bzw. konvergenten) Gewichten

w_{i}

stimmt

\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} w_{i} {(x_{i} - {\overline{x}}^{*})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{N} w_{i}}}

dann sogar approximativ mit der korrigierten Standardabweichung

\sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{N} n_{i} {(x_{i} - {\overline{x}}^{*})}^{2}}

überein - was man von

\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} w_{i} {(x_{i} - {\overline{x}}^{*})}^{2}}{\frac{M - 1}{M} \sum_{i = 1}^{N} w_{i}}}

eben leider nicht sagen kann. Es ist daher kein Zufall, dass man so wenig zu dieser sog. gewichteten Standardabweichung findet: Das Konzept ist schlicht unausgegoren und wird daher von kaum jemanden in dieser Form verwendet. :(

zachy aktiv_icon

21:13 Uhr, 19.01.2022

Hallo HAL9000,

vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort!

Deine Nachricht, gerade den letzten Satz, deute ich so, dass die gewichtete Standardabweichung etwas ist, was man lieber nicht berechnet - mal ganz salopp gesagt. Habe ich das richtig verstanden?

Viele Grüße
zachy

HAL9000

21:29 Uhr, 19.01.2022

Sagen wir es mal so: Ich kannte diese Formel bisher nicht, und sie ist mir wegen der oben genannten Unstimmigkeiten ziemlich suspekt. Und als auf dem Gebiet der Stochastik promovierter Mathematiker bilde ich mir ein, solche Bedenken zumindest äußern zu können bzw. müssen. ;-)

zachy aktiv_icon

08:24 Uhr, 20.01.2022

Vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir sehr geholfen!

Beste Grüße und einen schönen Tag!

zachy

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