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Gibt es Lösungen in R?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Zwischenwertsatz

italia aktiv_icon

00:54 Uhr, 14.01.2017

aufgabe siehe Bild. Wie muss ich die Aufgaben lösen? Muss ich hier den zwischenwertsatz benutzen?
könnte jemand mir

a)

vorrechnen? danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

01:44 Uhr, 14.01.2017

Du brauchst nicht bei allen Aufgaben den Zwischenwertsatz.

Bei Teilaufgabe

b)

solltest du eigentlich sofort sehen, dass es keine reelle Lösung gibt. Warum?

Bei Teilaufgabe

c)

hilft tatsächlich der Ziwschenwertsatz weiter.
(Man kann auch sehen, dass

x = 0

eine Lösung ist, was einem aber nur für die erste Frage weiterhilft. Für die zweite Frage, ob es auch im Intervall

[36, 55]

Lösungen gibt, dann Zwischenwertsatz.)

Bei den Teilaufgaben

d)

und

e)

kann man alle rellen Lösungen ausrechnen bzw. direkt angeben.

\\\\\\

Teilaufgabe

a)

rechne ich dir gerne vor. Da kann man den Zwischenwertsatz gut gebrauchen.

Betrachte die stetige Funktion

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto e^{x} - (x + 2)

.

Es ist

f (0) = e^{0} - (0 + 2) = 1 - 2 = - 1 < 0

.

Und wegen

e > 2

ist

f (2) = e^{2} - (2 + 2) = e^{2} - 4 > 2^{2} - 4 = 0

.

Nach Zwischenwertsatz gibt es also ein

x \in [0, 2]

mit

f (x) = 0

.
Dieses

x

löst also die Gleichung

e^{x} = x + 2,

weshalb es Lösungen der Gleichung in

ℝ

gibt.

\\\\

Es ist

f^{'} (x) = e^{x} - 1 \geq e^{0} - 1 = 0

für alle

x \in [0, \infty)

.
Also ist

f

im Intervall

[0, \infty)

monoton steigend.
Also ist

f (x) \geq f (2) > 0

für alle

x \in [2, \infty),

also insbesondere für

x \in [36, 55]

.
Daher hat

f

keine Nullstelle im Intervall

[36, 55]

.
Damit hat die Gleichung

e^{x} = x + 2

keine Lösung im Intervall

[36, 55]

.

\\

Alternative, falls du keine Ableitung verwenden darfst/sollst.

Für

x \geq 0

ist:

e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \geq 1 + x + \frac{x^{2}}{2}

Für

x \geq 4

ist demnach:

e^{x} \geq 1 + x + \frac{x^{2}}{2} \geq 1 + x + \frac{4^{2}}{2} = x + 9 > x + 2

Daher besitzt die Gleichung

e^{x} = x + 2

keine relle Lösung im Intervall

[4, \infty),

also insbesondere keine relle Lösung im Intervall

[36, 55]

ledum aktiv_icon

01:46 Uhr, 14.01.2017

Hallo

a) e^{x} = x + 2

hat eine Lösung, denn bei

x = 0

ist

x + 2 > e^{x}

bei

z . B x = 10

ist

x + 2 < e^{x}

also gibt es dazwischen eine Lösung, aber nicht im Intervall

[35,55]

statt

10

geht natürlich auch ein anderes

x

.
Anderes Argument: bei 0 haben beide fit die Steigung

1,

die bleibt für

x + 1

gleich,

e^{x}

steigt stärker also muss es irgendwann schneiden.
ein Teil der anderen ist einfachere,

d, e

sind simpelst nur bei

c)

ähnlich wie a lösen.
Gruß ledum

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15:26 Uhr, 14.01.2017

sieht man das aufgrund des negativen vorzeichens

b)

e)

hier habe ich Schwierigkeiten nach

x

aufzulösen

italia aktiv_icon

15:34 Uhr, 14.01.2017

c)

Die gesuchte Gleichung hat offensichtlich die Lösung

x = 0

beim Einsetzen für

x = 33

einen negativen, für

x = 55

einen positiven Funktionswert.

Da

f

stetig ist, hat sie also nach dem Zwischenwertsatz im Intervall

[33, 55]

mindestens eine Nullstelle.

Damit hat die Ausgangsgleichung in

[33, 55]

mindestens eine Lösung.
wäre das so ausreichend bzw richtig?

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15:34 Uhr, 14.01.2017

c)

Die gesuchte Gleichung hat offensichtlich die Lösung

x = 0

beim Einsetzen für

x = 33

einen negativen, für

x = 55

einen positiven Funktionswert.

Da

f

stetig ist, hat sie also nach dem Zwischenwertsatz im Intervall

[33, 55]

mindestens eine Nullstelle.

Damit hat die Ausgangsgleichung in

[33, 55]

mindestens eine Lösung.
wäre das so ausreichend bzw richtig?

mihisu aktiv_icon

16:20 Uhr, 14.01.2017

b) :

Ja, das sieht man an dem Vorzeichen. Die linke Seite ist für alle reellen

x

-Werte nicht-negativ. Die rechte Seite ist jedoch negativ.

Zu

c) :

Das hast du fast richtig gelöst. Statt

36

hast du

33

verwendet.

Du solltest allerdings natürlich noch angeben, was deine Funktion

f

ist. So sprichst du plötzlich von irgendeiner Funktion

f,

ohne vorher beschrieben/definiert zu haben, was diese Funktion

f

sein soll. (Man kann sich das zwar denken. Aber jemeand der deine Lösung kontrolliert, soll sich nicht überlegen müssen, was du dir dabei gedacht haben könntest.)

Zu

e) :

Hast du bereits erkannt, wie man

{(- 1)}^{2017}

vereinfachen kann?

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16:47 Uhr, 14.01.2017

e)

ist die lösung

45

abakus

16:53 Uhr, 14.01.2017

"e) ist die lösung 45?"

Nein. Du solltest seit der 10. Klasse wissen, für welche Winkel (oder wenigstens erst einmal für welchen Winkel x im Intervall

0 \leq x < 2 π

) der Sinus den Wert -1 annimmt.

mihisu aktiv_icon

17:05 Uhr, 14.01.2017

sin (45) \approx 0,85 \neq - 1 = {(- 1)}^{2017}

(Also mich würde es ja stark interessieren, wie du überhaupt auf

x = 45

gekommen bist.)

Beachte den Tipp von Gast62:
Für welchen Winkel

x \in ℝ

mit

0 \leq x < 2 π

ist

sin (x) = - 1

?
Für welche

x \in ℝ

(auch außerhalb des Intervalls

[0, 2 π))

ist dann

sin (x) = - 1

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17:24 Uhr, 14.01.2017

- 90

grad

- \frac{π}{2}

liegt also nicht in

ℝ

mihisu aktiv_icon

17:37 Uhr, 14.01.2017

Seit wann liegt denn

- \frac{π}{2}

nicht in

ℝ

?!?

- \frac{π}{2}

ist doch ganz klar eine reelle Zahl.

Du hast also eine Lösung in

ℝ

gefunden.

Die Frage ist nun: Gibt es auch (mindestens) eine Lösung im Intervall

[36, 55]

.
Na was kennst du denn für Eigenschaften der sin -Funktion. Da hilft dir eine Eigenschaft weiter, die weiteren Lösungen in

ℝ

zu finden.

- \frac{π}{2}

ist die einzige Lösung im Intervall

[- π, π)

.

Gibt es nun beispielsweise auch Lösungen in den Intervallen

[π, 3 π)

und

[3 π, 5 π)

und

...

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22:24 Uhr, 14.01.2017

Sie ist periodisch. ja beispielsweise 3pi/2

\frac{37 \cdot 2 \cdot π}{2} = 37 \cdot π

wäre beispielsweise eine Lösung im Intervall.

Ist das so richtig?

mihisu aktiv_icon

22:39 Uhr, 14.01.2017

Nein, das ist nicht richtig.
Zunächst einmal ist

sin (37 \cdot π) = 0 \neq - 1

.
Andererseits ist

37 \cdot π \approx 116,24 \notin [35, 55]

.

\\\\

Du hast jedoch recht, dass die

sin

-Funktion

2 π

-periodisch ist.
Neben der Lösung

- \frac{π}{2}

ist also beispielsweise auch

- \frac{π}{2} + 2 π = \frac{3 π}{2}

eine Lösung.
Genauso ist auch

- \frac{π}{2} + k \cdot 2 π,

also

\frac{4 k - 1}{2} \cdot π,

für beliebiges

k \in ℤ

Lösung der Gleichung

sin (x) = - 1

.
(Das sind sogar alle reellen Lösungen.)

So jetzt versuche nochmal eine Lösung zu finden, die in

[36, 55]

liegt.
(Oder begründe anderweitig, dass mindestens eine der Lösungen in

[36, 55]

liegt.)

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22:50 Uhr, 14.01.2017

Danke für deine Hilfe

k = 8

müsste eine Lösung sein

abakus

22:56 Uhr, 14.01.2017

k=8 ist nicht die Lösung.
AUS k=8 ergibt sich die mögliche Lösung

x = 17, 5 \cdot π

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23:03 Uhr, 14.01.2017

15,5 \cdot π = 48.69

gehört das nicht zum Intervall?

mihisu aktiv_icon

23:08 Uhr, 14.01.2017

\frac{4 \cdot 8 - 1}{2} π = \frac{31}{2} π \approx 48,69 \in [36, 55]

Das passt.

abakus

23:08 Uhr, 14.01.2017

Das ist 54,9 und gehört gerade noch zum Intervall.

mihisu aktiv_icon

23:09 Uhr, 14.01.2017

Gast62 hat recht

17,5 \cdot π \approx 54,98 \neq 48,96

.

Aber Gast62 liegt auch falsch. Für

k = 8

erhält man

15,5 \cdot π,

nicht

17,5 \cdot π

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23:13 Uhr, 14.01.2017

Als Begründung würde doch eine Lösung ausreichen oder muss ich alle Lösungen finden?

d)

hate keine Lösung im Intervall

abakus

23:13 Uhr, 14.01.2017

Ich bin von der Grundlösung aus dem Intervall 0 bis 2 pi (also von 1,5 pi) ausgegangen und hatte übersehen, dass eure Grundlösung die vorhergehende aus dem Intervall von -pi bis pi war.
Auf alle Fälle war so eine oberflächliche Antwort "k=8 ist eine Lösung" nicht angemessen.

abakus

23:19 Uhr, 14.01.2017

"Als Begründung würde doch eine Lösung ausreichen oder muss ich alle Lösungen finden?"

Als Begründung hätte es sogar ausgereicht, dass es einen Funktionswert -1 gibt und dass das Intervall von 36 bis 55 die Länge 19 hat. Weil 19 größer als 2 pi ist, überdeckt dieses Intervall mehr als eine Periode und enthält somit alle möglichen Funktionswerte dieser Periode (also auch den Funktionswert -1).

italia aktiv_icon

23:22 Uhr, 14.01.2017

danke

mihisu aktiv_icon

23:27 Uhr, 14.01.2017

d)

hat keine Lösung im Intervall

[36, 55]

. Da hast du Recht, italia.

Und ich muss Gast62 zustimmen. Die Antwort war etwas "oberflächlich" war.
Außerdem wäre es natürlich sinnvoll, zumindest kurz anzugeben, wie man auf die Lösung kommt.
Denn nicht das Ergebnis der Aufgabe ist das interessante, sondern der Lösungsweg.
Es kann ja durchaus sein, dass du das richtige Ergebnis nennst, aber deine Begründung vollkommen falsch ist. In der Aufgabe steht aber nicht ohne Grund "Begründen Sie Ihre Antworten."
Bei dir hat man bei manchen deiner Antworten das Gefühl, dass du einfach das erstbeste hinschreibst, was dir einfällt, rein geraten.

Also evtl. so als Tipp für die Zukunft: Es ist durchaus sinnvoll, auch hier im Forum, eine kurze Begründung (muss ja nicht lang sein), was du gemacht hast, aufzuschreiben. Das hat den Vorteil, dass wir dir besser helfen können, indem wir nicht nur sehen, wenn deine Antwort falsch ist, sondern auch warum diese dann gegebenenfalls falsch ist.

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