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Gibt es auf R eine Vektorraumstruktur über C...?

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Körper

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Vektorräume

Tags: Körper, Skalarprodukt, Vektorraum

anonymous

10:00 Uhr, 15.11.2014

Hallo zusammen,

ich bin schon eine ziemliche Weile am Knobeln und auch in diversen Foren, in denen eine ähnliche Frage gestellt wurde, bin ich nicht viel schlauer geworden...

Gefragt ist, ob es auf

R

eine Vektorraumstruktur über dem Körper

C

gib, so dass die skalare Multiplikation

C x R \to R

eingeschränkt auf

R x R

die übliche Multiplikation reeller Zahlen darstellt.

Meine Überlegungen bisher:

Die Skalare Multiplikation von

C x R

bildet nicht immer auf

R

ab. Kleines Beispiel:

i \cdot 1 = i,

wobei

i

nicht in

R

liegt.

Wenn ich das Produkt

z \cdot x

mit

z

aus

C

und

x

aus

R

so wähle, dass

z

auch aus

R

ist, habe ich ja die Abbildung

R x R \to R,

was logischerweise die "gewöhnliche" Multiplikation in

R

ist.

Und ich müsste in dem Fall ja nicht einmal die VR Axiome abklappern, weil das ja trivialerweise stimmen muss... wofür also die 2 Punkte für die Aufgabe?

Offensichtlich habe ich irgendwo einen entscheidenden Denkfehler...

Danke im Voraus für die Hilfe und noch ein schönes Wochenende

Beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Skalarprodukt

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10:28 Uhr, 15.11.2014

"Die Skalare Multiplikation von CxR bildet nicht immer auf R ab. Kleines Beispiel:
i⋅1=i, wobei i nicht in R liegt."

Niemand hat gesagt, dass die skalare Multiplikation mit der "normalen" übereinstimmen muss. Kann sie offensichtlich nicht.
Theoretisch ist diese skalare Multiplikation beliebig definiert.
Z.B. so

z \in ℂ, x \in ℝ

z \circ x = ∣ z ∣^{2} \cdot x - ∣ z ∣^{7} \cdot x^{2}

(

\circ

ist die skalare Multiplikation, um sie von der "normalen" zu unterscheiden).

Natürlich ist mein Beispiel keine skalare Multiplikation in Wirklichkeit.

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10:30 Uhr, 15.11.2014

Beliebig ist natürlich nicht wörtlich gemeint, denn eingeschränkt auf

ℝ

muss diese skalare Multiplikation "normal" werden. Aber außerhalb von

ℝ

ist theoretisch Vieles möglich.

anonymous

10:34 Uhr, 15.11.2014

Hey,

Danke für Deine rasche Antwort...

Hab ich die Einschänkung auf

R

so zu verstehen, dass ich bei der Skalaren Multiplikation nur noch den Realteil meiner komplexen Zahl betrachte?

Sprich: ich definiere ein

z \cdot x

mit

z

aus

C

und

x

aus

R,

so dass Re(z)

\cdot x

die "gewöhnliche" Multiplikation darstellt?

Grüße

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10:40 Uhr, 15.11.2014

"ich definiere ein z⋅x mit z aus C und x aus R, so dass Re(z) ⋅x die "gewöhnliche" Multiplikation darstellt?"

R e (z) \cdot x

muss die gewöhnliche Multiplikation sein, ja.

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10:41 Uhr, 15.11.2014

"Hab ich die Einschänkung auf R so zu verstehen, dass ich bei der Skalaren Multiplikation nur noch den Realteil meiner komplexen Zahl betrachte?"

Das ist aber falsch. Es gibt keinen Grund,

z \circ x = R e (z) \cdot x

anzunehmen.

anonymous

10:49 Uhr, 15.11.2014

Hey,

"ich definiere ein

z

⋅

x

mit

z

aus

C

und

x

aus

R,

so dass Re(z) ⋅

x

die "gewöhnliche" Multiplikation darstellt?"

Ich nehme hier ja nicht an, dass

z \cdot x =

Re(z)

\cdot x

ist, sondern möchte nur, dass Re(z

\cdot

[

hier ist

z

aus

C] = z \cdot x

[

hier ist

z

aus

R] . .

. oder?

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10:54 Uhr, 15.11.2014

Dass

R e (z \circ x) = R e (z) \cdot x

musst Du noch beweisen.
Wo nutzt du überhaupt die Eigenschaften von einem Vektorraum?

anonymous

11:05 Uhr, 15.11.2014

Hey,

"Dass Re(z∘x)=Re(z)⋅x musst Du noch beweisen."

Wenn ich ein entsprechendes z∘x definiert habe, kann ich das doch machen...?

"Wo nutzt du überhaupt die Eigenschaften von einem Vektorraum?"

(C, +)

ist eine abelsche Gruppe, was mir hier nicht weiter hilft.
(R,C,∘) soll nun ein Vektorraum sein, für das gilt: Re(z)

\cdot x

ist die "gewöhnliche" Multiplikation in R.

Eigenschaften sind ja Assoziativität, Distributivität bzgl. ∘

Ich glaube ich stehe gerade richtig auf dem Schlauch...

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11:07 Uhr, 15.11.2014

"Wenn ich ein entsprechendes z∘x definiert habe, kann ich das doch machen...?"

Du kannst alle Mögliche definieren, aber wie hilft es Dir?

Versuche

i^{2} = - 1

zu nutzen. ;-)

anonymous

11:14 Uhr, 15.11.2014

"Du kannst alle Mögliche definieren"

Wenn ich jetzt mein ∘ so definiere:
Sei

z

aus

C

und

r

aus

R

z

∘

r = (x + i y)

∘

r := x \cdot r

Dann gilt doch bereits Re(x ∘

r) =

Re(x)

\cdot r

Hm...

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11:36 Uhr, 15.11.2014

Wenn Du so definierst, ist es keine skalare Multiplikation in einem Vektorraum.
Denn nach dieser Definition ist einerseits

i \circ (i \circ 1) = i \circ 0 = 0

und andererseis

i \circ (i \circ 1) = (i \cdot i) \circ 1 = - 1 \circ 1 = - 1

anonymous

12:05 Uhr, 15.11.2014

Hey,

das ist dann aber ziemlich schwer herauszufinden...
(Zumindest kenne ich keine einfachen Methoden dazu)

Aber dann noch einmal zum Verständnis: Ich muss eine Skalare Multiplikation definieren, sodass

C x R \to R

und zudem noch Distributivität, Assoziativität und Unitarität gilt.

(Ich kann nicht einmal das herausfinden)

Zudem muss gelten, dass dann

R (z) \cdot x

die "gewöhnliche" Multiplikation in

R

darstellt.

Habe ich das soweit richtig verstanden?

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12:11 Uhr, 15.11.2014

"Aber dann noch einmal zum Verständnis: Ich muss eine Skalare Multiplikation definieren, sodass CxR→R und zudem noch Distributivität, Assoziativität und Unitarität gilt."

In Wirklichkeit musst Du beweisen, dass dies überhaupt nicht möglich ist. So eine Definition kann es nicht geben.

anonymous

12:13 Uhr, 15.11.2014

Darum ist die Aufgabe so schwer ;-)

Aber wie ist denn dann Vorgehen angesagt? Ich habe eben folgendes herausgefunden, habe es aber nicht wirklich verstanden:

"Als

R

Vektorraum besitzt

C

die Basis

{

1,i}."

Basis und Dimension behandeln wir aber noch...

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12:14 Uhr, 15.11.2014

Und der Beweis ist eigentlich einfach. Bzw. es gibt einen einfachen, natürlich kann man das auch kompliziert beweisen.

Betrachte

i \circ 1

. Das muss eine reelle Zahl sein, nennen wir sie

r

.
Dann aber

(r - i) \circ 1 = 0

. Und das ist schon ein Problem. Warum?

anonymous

12:16 Uhr, 15.11.2014

Naja, laut der zweiten Gleichung muss

r = i

sein, oder?
Die Frage ist, wie Du von der ersten zur zweiten kommst, oder betrachten wir diese unabhängig voneinander?

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12:17 Uhr, 15.11.2014

"Als R Vektorraum besitzt C die Basis {1,i}."

Stimmt zwar, hat aber mit Deiner Aufgabe überhaupt nicht zu tun.
Du untersuchst Die Frage, ob

ℝ

ein Vektorraum über

С

sein kann,
nicht, ob

ℂ

ein Vektorraum über

ℝ

sein kann, das
sind zwei ganz verschiedene Paar Schuhe.

DrBoogie aktiv_icon

12:22 Uhr, 15.11.2014

Ok, dann Schritt für Schritt.

i \circ 1 \in ℝ

, nennen wir diese Zahl

r

, also

r = i \circ 1

.
Andererseits

r \circ 1 = r \cdot 1 = r

, weil für reelle Zahlen müssen wir normale Multiplikation bekommen.
Also,

r \circ 1 = r = i \circ 1 = > 0 = r \circ 1 - i \circ 1 = (r - i) \circ 1

r - i \neq 0

\exists \frac{1}{r - i}

, dann aber

0 = (r - i) \circ 1 = > 0 = \frac{1}{r - i} \circ ((r - i) \circ 1) = (\frac{1}{r - i} \cdot (r - i)) \circ 1 = 1 \circ 1 = 1

.
Also

0 = 1

, ein Widerspruch.

anonymous

12:28 Uhr, 15.11.2014

Okay, das mit dem inversen Element leuchtet ein... ich muss das ganze aber noch ein wenig verdauen... ich weiß nicht, wie lange ich gebraucht hätte, um darauf zu kommen...

Ich bedanke mich recht herzlich bei Dir! :-)

Beste Grüße

ArmoredGatto aktiv_icon

22:15 Uhr, 25.04.2017

Kurze Frage, warum ist

r

−

i

≠ 0?

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