Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gleiche Grenzen bei Substitution

Gleiche Grenzen bei Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

Zera1212

Zera1212 aktiv_icon

12:59 Uhr, 26.04.2024

Antworten

Ich weiß, dass man die Funktion x-xhoch 2 auf die Grenzen 0 bis 1 ganz einfach integrieren kann. Aber heute kam die Frage auf, ob man es nicht auch trotzdem mit der Substitution integrieren kann.
Also mein u wäre ja dann x-hoch 2 und ich forme es um zu du/1-2x=dx. Doch wenn man dann die neuen Grenzen berechnen möchte, erhalte ich für die obere und untere Grenze 0, da 1-1hoch 2 0 ist und 0-0 auch und somit dann auch für das Integral 0.
Das kann aber ja nicht sein, findet da jemand den Fehler oder kann mir erklären, warum das hier nicht funktioniert.
Auch wenn ich weiß, dass natürlich der einfachere Weg ohne SUbstitution sinnvoller ist, müsste es doch hier auch klappen.
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Mathe45

13:07 Uhr, 26.04.2024

Antworten

Was ist " x-hoch2 " ?
Meinst du

u = x - x^{2}

?

. .

. und wie sieht denn dann dein Integral aus ?

Antwort

HAL9000

13:26 Uhr, 26.04.2024

Antworten

@Zera1212
Es wäre wünschenswert, wenn du die Formeln vernünftig schreiben würdest...

Anscheinend willst du

\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x

durch Substitution

u = x - x^{2}

mit dann

d u = (1 - 2 x) d x

berechnen, damit gelangt man beim unbestimmten Integral zunächst bei

\int (x - x^{2}) d x = \int \frac{u}{1 - 2 x} d u

an, da musst du aber noch das

x

im Nenner durch

u

ersetzen - was aber nicht ohne weiteres funktioniert: Die Auflösung von

u = x - x^{2}

nach

x

ergibt

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 u}}{2}

, wobei in der ersten Intervallhälfte

x \in [0, \frac{1}{2}]

die Variante "-" und in der zweiten Intervallhälfte

x \in [\frac{1}{2}, 1]

das "+" greift. Du erhältst somit nach entsprechender Intervallaufteilung die bedeutsame "Integralvereinfachung"

\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - x^{2}) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (x - x^{2}) d x

= \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{u}{1 - (1 - \sqrt{1 - 4 u})} d u + \int_{\frac{1}{4}}^{0} \frac{u}{1 - (1 + \sqrt{1 - 4 u})} d u = 2 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{u}{\sqrt{1 - 4 u}} d u

,

herzlichen Glückwunsch. ;-)

Antwort

Roman-22

13:36 Uhr, 26.04.2024

Antworten

\cdot ⋆

deleted

⋆ \cdot

Antwort

HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

17:35 Uhr, 26.04.2024

Antworten

Wenn man

u = x^{2}

in

x - x^{2}

setzt, erhält man

\sqrt{u} - u

mit

d u = 2 x \cdot d x = 2 \sqrt{u} \cdot d x

.

Dann hast du nun im Integral

(\sqrt{u} - u) \cdot \frac{d u}{2 \sqrt{u}}

=

(\frac{1 - \sqrt{u}}{2}) \cdot d u

stehen. Die Grenzen bleiben in diesem Fall identisch. Jetzt rechne mal nach.

1585094

1585070