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Gleichmäßige Konv. => Konvergenzradius = unendl.?
Universität / Fachhochschule
Funktionenreihen
Tags: Funktionenreihen, Konvergenzradius
 
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Guten Abend liebes Forum, ich schaue gerade mein Skript zu Analysis in Vorbereitung auf eine Prüfung durch und bin beim Thema der Funktionenreihen leider leicht ins stocken geraten, genauer bei den Potenzreihen. Nun ist es ja so, dass die zur e-Funktion gehörige Reihe konvergiert und den Konvergenzradius besitzt. Die Reihe zum Sinus wird im Skript gegen die Exponentialreihe abgeschätzt, sodass diese eine konvergente Majorante ist. Daher gilt dass die Funktionenreihe zum Sinus gleichmäßig konvergiert. Der nächste Satz im Skript ist direkt, dass dann auch für diese Reihe der Konvergenzradius ist. Folgt dies direkt aus der gleichmäßigen Konvergenz? (Intuitiv würde das natürlich Sinn machen, da wenn die Reihe gleichmäßig konvergiert auf ganz wohl für ganz Konvergenz garantiert ist (sogar gleichmäßige).) Bezieht sich der Konvergenzradius auf punktweise Konvergenz? Also wenn man sagt, dass die Exponentialfunktion auf ganz konvergiert, meint man dann genauer gesagt, dass sie punktweise gegen exp(x) konvergiert? Außerdem gilt der Umkehrschluss, dass dann auch die Exponentialreihe auf ganz gleichmäßig konvergiert gilt nicht, oder? Vielen Dank für Eure Zeit und Antworten :-) LG Jonas Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, eine Potenzreihe konvergiert in jedem (beschränkten) abgeschlossenen Intervall, das ganz im Konvergenzbereich liegt, absolut und gleichmäßig. Also speziell die Exponentialreihe konvergiert in ganz punktweise und in jedem abgeschlossenen Intervall gleichmäßig. Gruß ermanus |
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Vielen Dank für Deine Antwort :-) Den Satz haben wir tatsächlich auch im Skript. Folgt aus der Tatsache, dass sie in jedem kompakten Intervall von absolut und gleichmäßig konvergiert auch, dass sie einfach auf ganz entsprechend konvergiert? Insbesondere bei diesen Fragen würde ich mich freuen, wenn mir jemand diese für mein Verständnis noch beantworten könnte: " Bezieht sich der Konvergenzradius auf punktweise Konvergenz? Also wenn man sagt, dass die Exponentialfunktion auf ganz ℝ konvergiert, meint man dann genauer gesagt, dass sie ∀x∈ℝ punktweise gegen exp(x) konvergiert? " Vielen Dank nochmal. LG Jonas |
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Zur zweiten Frage: Ja, man meint damit zunächst punktweise Konvergenz, die gleichmäßige Konvergenz erhält man duch Einschränkung suf abgeschlossene Teilintervalle. |
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Nehmen wir die Exponentialfunktion Dann bekommen wir für alle , also ist die Reihe auf ganz nicht gleichmäßig konvergent. |
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Vermutlich bist du von Außerirdischen verschleppt worden, andernfalls würdest du ja eine Reaktion gezeigt haben. Dennoch: wenn alles klar ist, bitte abhaken! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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