Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gleichseitiges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

Schüler

Tags: eingeschrieben, Rechteck

Visocnik aktiv_icon

17:32 Uhr, 12.12.2016

Liebe Mathefreunde!
Komme bei dieser Aufgabe nicht zum Ziel Erbitte Hilfe!
Aufgabe:
In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge

a = 10

cm wird ein Rechteck

R 1

mit dem Seitenverhältnis

5 : 3

eingeschrieben. Auf dieses Recheck wird ein ähnliches Rechteck aufgesetzt und dieser Vorgang unendlich oft wiederholt.

A)

Wie viel Prozent der Dreicksfläche werden durch die Rechtecke bedeckt?

B) R 1

wird hochkant eingeschrieben, ebenso die folgenden Rechtecke. Wieviel Prozent der Dreiecksfläche wird durch die Rechtecke bedeckt?

Ich habe einmal so begonnen:

l : b = 5 : l = \frac{5 b}{3}

oder

b = \frac{3 l}{b}

Die Rechtecksfläche

R 1 = l \cdot b

= \frac{5 b \cdot b}{3} = 5 \cdot \frac{b^{2}}{3}

Die Fläche vom gleiseitigen Dreieck

= \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 43,4

h

des gleichseitigen Dreiecks

h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} = 8,66

cm

sn

= a 1 \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

Da stecke ich nun fest. Ich habe in dieser Formel ja 2 Unbekannte;

q

und

n

und sn!
Bitte, seid so lieb und helft mir weiter. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Ginso aktiv_icon

17:48 Uhr, 12.12.2016

Also ich nehme mal an, das Rechteck wird so eingesetzt, dass die alle Ecken auf dem Rand des Dreiecks liegen. Der erste Schritt wäre dann mal rauszufinden, wie breit und hoch dieses Rechteck wirklich ist. Dafür nehmen am besten die Länge des Rechtecks mal als Variable und schauen wie hoch das Dreieck an Enden einer Strecke der Länge l ist, wenn diese mittig auf der Grundseite ist. Dann müssen wir nur noch rausfinden, für welches l dabei

⅗

l rauskommt.
Die Grundseite ist 10cm lang, d.h. auf jeder Seite sind es

(10 c m - l) / 2

von der Ecke bis zum Beginn dieser Strecke. Daraus ergibt sich ein klineres Dreieck. Die Winkel in einem Gleichseitigen Dreieck sind immer alle 60°. D.h. wir haben da jetzt ein rechtwinkliges Dreieck, von dem wir die Winkel und eine Seitenlänge kennen. Dann sollte es nicht schwer sein die vertikale, und damit die Höhe an dieser Stelle zu berechnen.

Wenn du das Rechteck hast, ergibt sich oberhalb davon wieder ein Dreieck. Da soll jetzt wieder ein solches rechteck eingefügt werden. Der Flächeninhalt des kleinen Rechtecks, sollte zum Flächeninhalt des großen rechtecks im gleichen verhältnis stehen wie der Flächeninhalt des kleinen Dreiecks zu dem des großen Dreiecks. Den Flächeninhalt des kleinen Dreiecks kannst leicht ausrechen. Seine Höhe ist ja um genau b kleiner als die vom großen und die Grundseite hat länge l. Teile den Flächeninhalt des kleinen Dreiecks durch den des großen und du erhälst einen Faktor p. Das erste Rechteck hat den Flächeninhalt

A_{1} = l \cdot b

, das 2. dann

A_{2} = p A_{1}

. Der Vorgang wiederholt sich jetzt immer weiter, d.h.

A_{n} = p^{n}

. Insgesamt ist also eine Fläche von

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} A_{n}

bedeckt

Visocnik aktiv_icon

18:06 Uhr, 12.12.2016

Hier meine Skizze!
Danke!

Ginso aktiv_icon

18:10 Uhr, 12.12.2016

Ich seh keine Skizze. Hab meine Antwort inzwischen erweitert und erklärt wies weiter geht.

Visocnik aktiv_icon

19:41 Uhr, 12.12.2016

Entschuldige bitte, mit dem Hochladen ist etwas schief gelaufen!

Visocnik aktiv_icon

19:56 Uhr, 12.12.2016

Ich habe einmal die Länge und Breite des ersten großen Rechtecks ausgerechnet.

l =

ungef.

5,9

b =

ungef.

3,54

Damit wäre die Rechtecksfläche des ersten Rechtecks ca.

20,89

cm^2

Ich habe das nur mit Hilfe des Strahlensatzes lösen können.

\frac{a}{2} : h = \frac{10 - l}{2} : b

b = \frac{3 \cdot l}{5}

Liege ich damit richtig?
Ich habe leider deine Anweisungen nicht ganz verstanden. Den Rechengang habe ich verstanden, aber ich bin nicht imstande, das richtig anzuschreiben, leider!Inzwischen danke für alles!
lg

B

Ginso aktiv_icon

20:27 Uhr, 12.12.2016

Strahlensatz ist natürlich auch ne Möglichkeit.

Genau, jetzt hast du das erste Rechteck. Daraus bildet sich ja das 2. Dreieck mit der Grundseite l und Höhe h-b.
In dieses Dreieck wird jetzt wieder ein Rechteck mit dem gleichen Seitenverhältnis gelegt. Es ist ziemlich offensichtlich, dass dieses Rechteck um den gleichen Faktor gestaucht ist, wie das 2. Dreieck. Also wenn

A_{1}, A_{2}, . . .

die Flächeninhalte der Dreiecke sind, dann ist

A 2 : A 1 = R 2 : R 1

und genau so geht es weiter.

R_{3} : R_{2} = R_{2} : R_{1}

.
Wenn du also den Stauchfaktor

p = \frac{A_{2}}{A_{1}} b e s t i m m s t, k a n n s t d u F l ä c h e n i n h a l t e d i r e k t a u s r e c h n e n :

R_{2} = p R_{1}

R_{3} = p R_{2} = p^{2} R_{1}

R_{4} = p R_{3} = p^{3} R_{1}

usw...
die Summe aller Rechtecke ist also

\sum_{n = 0}^{\infty} p^{n} R_{n + 1}

, was sich leicht mit der geometrischen Reihe ausrechnen lässt. Ich würde dir empfehlen komplett mit exakten Werten zu rechnen, auch wenn das n bisschen unschön wird.

Visocnik aktiv_icon

20:33 Uhr, 12.12.2016

Ganz schön kompliziert! Mein Taschenrechner funktioniert nicht mehr. Ich werde mir sofort einen Funktionierenden ausleihen. Dauert leider ein bisschen.
Darf ich dich fragen, was für ein Wert kommt denn für

p

heraus?

p =

ungef.

2,3

Könnte das stimmen?

Ginso aktiv_icon

20:44 Uhr, 12.12.2016

Nein, es müsste ungefähr 0,35 rauskommen.

Visocnik aktiv_icon

20:46 Uhr, 12.12.2016

Vielen, vielen Dank inzwischen. Melde mich, sobald ich Ergebnisse mit dem Taschenrechner habe. Bedanke mich ganz herzlich bei dir, Ginso!

Visocnik aktiv_icon

21:25 Uhr, 12.12.2016

Hallo, Ginso. Entschuldige vielmals die Unterbrechung. Ich habe jetzt mit dem Taschenrechner errechnet:

p = \frac{A 2}{A 1}

= \frac{15,110502}{43,30127} = 0,3489621

Darf ich dich fragen, wie es jetzt weiter geht? Kannst du mir das einmal anschreiben, bitte!
Ich tue mich da deshalb schwer, weil es ja heißt von 0 bis unendlich!

Ginso aktiv_icon

21:35 Uhr, 12.12.2016

Schau dir mal die "geometrische Reihe" an.

Visocnik aktiv_icon

21:44 Uhr, 12.12.2016

An und für sich lautet ja die geometr. Reihe jetzt:

sn

= a 1 \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

= 20,937726 \cdot \frac{1 - {0,3489621}^{n}}{1 - 0,3489621}

Wer hilft mir bitte auf die Sprünge? Gibt es noch jemanden, der on-line ist und mir weiterhilft?
Bitte!

Ginso aktiv_icon

22:08 Uhr, 12.12.2016

Wichtig ist, gegen was die geometrische Reihe konvergiert:
Für ein beliebiges q mit

∣ q ∣ < 1

gilt

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{0} q^{k} = \frac{a_{0}}{1 - q}

Visocnik aktiv_icon

22:12 Uhr, 12.12.2016

Ich glaube, sie konvergiert gegen

0,

wenn der absolute Wert von

q

kleiner 1 ist.

Ginso aktiv_icon

22:15 Uhr, 12.12.2016

Die Folgenglieder ja, aber die Reihe, also die Summe wird ja immer größer. Die konvergiert wie gesagt gegen

\frac{a_{0}}{1 - q}

Visocnik aktiv_icon

22:18 Uhr, 12.12.2016

OK, vielen Dank!
Ich rechne also:

\frac{43,30127}{1 - 0,3489621} = 66,511136

Ginso aktiv_icon

22:20 Uhr, 12.12.2016

Fast, du willst ja die Summe der Rechtecke wissen nicht die der Dreiecke, also musst den Flächeninhalt des ersten rechtecks nehmen nicht den des ersten Dreiecks.

Visocnik aktiv_icon

22:23 Uhr, 12.12.2016

Oh Gott, man merkt, dass es jetzt schon spät ist. Danke vielmals!
Also,

\frac{20,937726}{1 - 0,3489621} = 32,160533

Ginso aktiv_icon

22:25 Uhr, 12.12.2016

Jetzt hast dus ;-)

Visocnik aktiv_icon

22:30 Uhr, 12.12.2016

Es sind also

74,27 %

der Dreicksfläche bedeckt.
Vielen, vielen Dank, lieber Ginso für deine Hilfe. Ich sehe, heuteabend bin ich schon unkonzentriert. Werde morgen sofort die

b

probieren - mit den hochgestellten Rechtecken. Ich hoffe, die Nr.

b

ist auf die gleiche Art zu lösen. Der Prozentsatz wir wahrscheinlich stark fallen, oder?
Ich bedanke mich nochmals ganz herzlich bei dir und verbleibe mit lG

B

Ginso aktiv_icon

22:31 Uhr, 12.12.2016

klar nur am Anfang den Bruch ändern, rest bleibt gleich

Visocnik aktiv_icon

22:35 Uhr, 12.12.2016

Ich bedanke mich nochmals ganz lieb bei dir. Vielleicht darf ich mich nochmals an dich wenden, wenn ich bei der Nr.

b

Probleme habe.
lg

B

1343262

1343134

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?