Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gleichung 3.Grades lösen

Gleichung 3.Grades lösen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Komplexe Zahlen

ErNsTi aktiv_icon

18:49 Uhr, 24.10.2010

Hallo!
Wir sollen alle komplexen Zahlen

z

(element von

C)

suchen.
Nach Umformung der Gleichung erhalte ich folgendes:

2z^3-4z^2+2iz^2-8iz+10z+10i=0

wie Löse ich so eine Gleichung. Die pq formel kann man ja hier nicht benutzen.
kann mir einer Weiterhelfen?
danke schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerCommander aktiv_icon

19:47 Uhr, 24.10.2010

der trick ist, dass

z . b

8 i

eine "normale" zahl ist und keine variable.

d . h

. sortiere dir die variablen

z^{3}, z^{2}

und

z

und die konstante so, wie du es von "normalen" polynomen kennst.

d . h

. bei

z . b

2 i \cdot z^{2} + z^{2} + 8 i \cdot z + 3 z

(2 i + 1) \cdot z^{2} + (8 i + 3) \cdot z

usw..
dann hast du die gewohnt form und kannst polynomdivision bzw. pq-formel anwenden.

ErNsTi aktiv_icon

13:17 Uhr, 25.10.2010

ok danke das hab ich schonmal verstnden.
Das heist wenn ich jetzt trotzdem noch

z^{3}

drinne habe muss ich erst noch polynomdivision machen?! unter der funktion oben steht

(z^{2} + 1) (z - 1)

pleindespoir aktiv_icon

04:02 Uhr, 26.10.2010

2 z^{3} - 4 z^{2} + 2 i z^{2} - 8 i z + 10 z + 10 i = 0

2 z^{3} + (- 4 + 2 i) z^{2} + (- 8 i + 10) z + 10 i = 0 ∣ : 2

z^{3} + (- 2 + i) z^{2} + (- 4 i + 5) z + 5 i = 0

sieht nach einem Polynom 3.Grades aus - der wehrt sich gegen die Mitternachtsformel.

Um eine Polynomdivision zu machen, brauchst du einen Linearfaktor - also schon mal eine der Lösungen - hast du eine ? und wenn ja, wie bist du zu der gekommen?

" ... Nach Umformung der Gleichung erhalte ich folgendes: ... "

Zeige mal die Gleichung

V O R

der Umformung - ich hab' da sonen Verdacht ...

m-at-he

09:32 Uhr, 26.10.2010

Hallo,

diese Gleichung kann man sich mal spaßeshalber numerisch lösen lassen. Selbst wenn die gefundenen Lösungen irgendwie durch Wurzeln, Winkel,

. .

. dargestellt werden könnte (ich sehe jedenfalls nicht auf Anhieb irgendwelche Zusammenhänge), wären diese exakten Lösungen für eine exakte Polynomdivision eher ungeeignet.

ErNsTi aktiv_icon

11:28 Uhr, 26.10.2010

nee hab irgendwie keine erste lösung gefunden für dien gleichung.
Das

i

bleibt ja immer auf der linken seite

pleindespoir aktiv_icon

20:46 Uhr, 26.10.2010

" unter der funktion oben steht

(z^{2} + 1) (z - 1)

"

Wo steht das - wo hast du das her und in welchem Zusammenhang steht diese Angabe mit dem Erstposting?

Ich schlage nochmals vor, die ursprüngliche Aufgabe so original und komplett wie möglich zu posten - ich vermute mal, dass Du schon vorher bei der Umstellung irgendwas verfuschelt hast. Es wäre nicht das erste Mal, dass sich unlösbare Gleichungen dabei plötzlich einfach lösen lassen.

ErNsTi aktiv_icon

23:26 Uhr, 26.10.2010

Die aufgabe heist: Gesucht sind alle komplexen zahlen z element der Komplexen Zahlen die folgende gleichung erfüllen:
(z-3)/(z-i)+(z-4+i)/(z-1)=2* (-3+2i)/(z^2-(1+i)z+i)

nach umformungen bin ich dann auf diesen Zähler: 2z^3-4z^2+2iz^2-8iz+10z+10i=0
und dann den nenner gekommen der oben steht.

m-at-he

04:45 Uhr, 27.10.2010

Hallo,

wenn man nicht einfach wild erweitert, sondern den Haupnenner bildet, dann ergibt sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine quadratische Gleichung!!! Und dann wären wir an genau der vorhergesagten Stelle: "Es wäre nicht das erste Mal, dass sich unlösbare Gleichungen dabei plötzlich einfach lösen lassen."

\frac{z - 3}{z - i} + \frac{z - 4 + i}{z - 1} = 2 \cdot \frac{- 3 + 2 \cdot i}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i}

\frac{(z - 3) \cdot (z - 1)}{(z - i) \cdot (z - 1)} + \frac{(z - 4 + i) \cdot (z - i)}{(z - 1) \cdot (z - i)} = 2 \cdot \frac{- 3 + 2 \cdot i}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i}

\frac{z^{2} - 4 \cdot z + 3}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i} + \frac{z^{2} - 4 \cdot z + 1 + 4 \cdot i}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i} = \frac{- 6 + 4 \cdot i}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i}

\frac{2 \cdot z^{2} - 8 \cdot z + 4 + 4 \cdot i}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i} - \frac{- 6 + 4 \cdot i}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i} = 0

\frac{2 \cdot z^{2} - 8 \cdot z + 10}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i} = 0

\frac{z^{2} - 4 \cdot z + 5}{z^{2} - (1 + i) \cdot z + i} = 0

Die Nullstellen des Nenners kennen wir, die Nullstellen des Zählers sind ermittelbar.

z^{2} - 4 \cdot z + 5 = 0

z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 5}

z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{- 1}

z_{1,2} = 2 \pm i

z_{1} = 2 - i

z_{2} = 2 + i

Was heißt hier "plötzlich einfach lösen"? Plötzlich SEHR einfach lösen!

Ich hoffe, Du hast daraus gelernt, daß man besser keine Zwischenergebnisse als Aufgaben präsentiert! Der sinnvollste Weg ist immer die Originalaufgabe zu posten und Deine Zwischenergebnisse (am besten mit Rechenweg) anzugeben! Wenn Dir das Abschreiben zu anstrengend ist, Du mußt es nicht unbedingt abschreiben! Es werden immer mehr, die einen Scanner benutzen und sogar Handy-Fotos gab es hier schon in lesbarer Qualität...

ErNsTi aktiv_icon

15:49 Uhr, 27.10.2010

oh cool danke sehr :-)
also diesen weg hab ich auf alle fälle verstanden.
Hab ich denn dort oben völlig falsch gerechnet???
Ich habe die aufgabe mal mit dem Mathe Programm Derive nachgerechnet und da bin ich auch auf die gleichung mit z^3 gekommen?
natürlich ist das schwieriger, aber wäre ich da auch auf die richtige lösung gekommen?

anonymous

18:03 Uhr, 27.10.2010

Hallo,

es ist schwer zu sagen, was Du da gerechnet hast, da sind Multiplikationen und Additionen nacheinander ausgeführt worden. Aber was ich komisch finde ist folgendes:

Damit Du auf ein Polynom dritten Grades kommst, darfst Du die linke Seite nur mit einem Polynom 2-ten Grades erweitern.

D . h

. aber, daß Du eine Nullstelle der 3 Nenner in mindestens 2 Nennern gefunden hast. Stellt sich die Frage, welchen Nullstelle hast Du gefunden und warum dann die andere nicht auch? Schreib doch mal Deinen Rechenweg auf, dann kann man nach Fehlern suchen. Wenn der lang ist und auf einem Schmierblatt, dann nimm doch einfach einen Scanner und häng das Bild an.

ErNsTi aktiv_icon

18:15 Uhr, 27.10.2010

Ich scanne es in den folgenden tagen mal ein. Hab die Rechnung grade zur kontrolle abgegeben.
Mal sehen was der Lehrer zu meinen alternativen rechenweg sagt :-)
ich kann nur noch sagen das ich mit der rechenregel dividieren mit komplexen zahlen gearbeitet habe. Also so das ich das i aus dem nenner weg bekomme. Das habe ich auf beiden seiten gemacht. dadurch war dann auch der nenner auf beiden seiten gleich wie ich oben geschrieben habe. und als ich dann die rechte auf die linke seite genommen habe kam z^3 zustande

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

810317

808667

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?