Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gleichung Lösen mit Horner Schema

Gleichung Lösen mit Horner Schema

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Hornerschema, Parameter, polynom

Lars1997 aktiv_icon

12:28 Uhr, 08.01.2019

Moin. habe hier die die Gleichung:

a) 3 \cdot b^{4} \cdot x^{4} + 8 \cdot a \cdot b^{3} \cdot x^{3} + 6 a^{2} \cdot b^{2} \cdot x^{2} - a^{4} = 0

b) 3 \cdot b^{5} \cdot x^{5} + 10 \cdot a \cdot b^{4} \cdot x^{4} + 10 \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot x^{3} - 5 \cdot a^{4} \cdot b \cdot x - 2 \cdot a^{5} = 0

hat die (Mehrfach-)Lösung

x_{1} = - \frac{a}{b}

. Welche Lösung hat sie noch?

Das ganze ist mit dem Horner SChema zu berechnen. Jedoch weiß ich nicht wie ich die andere Lösung bekomme. Muss ich

x 1

einsetzen für die Werte von

x,

und dann anschließen auflösen (im Horner Schema?)

Es wäre nett wenn mir jemand diese Aufgabe ausführlich erklären kann, vielleicht auch mit einem Beispiel.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

13:00 Uhr, 08.01.2019

Wenn bekannt ist, dass

x_{1} = - \frac{a}{b}

Lösung ist, dann führe doch eine Polynomdivision (von mir aus via Horner-Schema) deiner Polynome in a) bzw. b) durch

(b x + a)

durch. Und das so oft, wie die Division ohne Rest aufgeht - es steht ja da was von Mehrfach-Lösung, ein deutlicher Wink mit dem Zaunpfahl...

Lars1997 aktiv_icon

13:16 Uhr, 08.01.2019

Dann soll ich beim Hornerschema nur den Wert a benutzen oder wie?

Das

b

ist ja in deiner schreibweise uninteressant dafür oder nicht? Bin nicht ganz fit in diesem Thema

HAL9000

14:27 Uhr, 08.01.2019

Ich wiederhole nochmal: Führe die Polynomdivision deiner Polynomterme durch

(b x + a)

durch, und das mehrfach hintereinander solange, bis ein echter Rest bleibt.

Wie du diese Polynomdivision durchführst, ist mir schnurzegal - ob mit Horner-Schema oder sonstwie!

Beispiel a), erster Schritt:

(3 b^{4} x^{4} + 8 a b^{3} x^{3} + 6 a^{2} b^{2} x^{2} - a^{4}) : (b x + a) = 3 b^{3} x^{3} + 5 a b^{2} x^{2} + a^{2} b x - a^{3}

mit Rest 0, geht also auf.

Zweiter Schritt: Polynomdivision

(3 b^{3} x^{3} + 5 a b^{2} x^{2} + a^{2} b x - a^{3}) : (b x + a) = ?

Rest ?

usw.

Lars1997 aktiv_icon

15:34 Uhr, 08.01.2019

Hab es jetzt auch mit Polydiv gemacht. Mit dem Horner Schema habe ich es immer falsch aufgelöst.

godzilla12 aktiv_icon

16:16 Uhr, 08.01.2019

Lars weißt du, wofür Polynomdivision (PD ) da ist? Zu dem Thema PD las ich aber mal den bissigen Kommentar

" Während der da vorne sich mit seiner PD eine gee-schlaa-gene Viertelstunde abquält, habe ich das Ergebnis in

5 sec

im Kopf. Wie es geht? Sag ich euch nur, wenn ihr besonders höflich zu mir seid

. .

. "

Hey Hornerschema ist doch easy. Es handelt sich um eine typische Kettenrechnung, wie sich Schüler von Kl. 4 unaufgefordert gegenseitig stellen.
Was man weiß, was man wissen sollte.
Was man kann, was man können sollte.
Horner kannst du im Kopf - zu Mindest für ganzzahlige Argumente. Und um eine PD durch Lineardfaktor ( PDLF ) durchzuführen, darfst du nur die Zwischenergebnisse nicht fortschmeißen, sondern musst sie auf einem Schmierzettel protokollieren.
Hast du schon mal programmiert? Basic oder C? Ein Hornerprogramm ist doch echt leicht. Und um es auf PDLF aufzurüsten, musst du nur den Arbeitsvektor urück geben
( Ich hab mir mal sagen lassen, das ist eh guter Programmierstil

. .

. )
Von der Hornermethode für PDLF erfuhr ich erstmals aus dem Internet. Das größte war dann, dass mir ein Kommentator ernsthaft verkaufen wollte, sie sei schon seit

1890

geläufig

. .

.
Das Thema SRN hatten wir ja schon. Den Milleniumfake, Entdecker des SRN sei Gauß ( Kein Studienrat hat je vom SRN gehört; DAS wäre ja leicht, könnten die mich einfach auf Gauß verweisen

. .

. )
Es ist uns gelungen, den SRN bis

1950

zurück zu verfolgen; seit dem ist tote Hose. dann in der nämlichen woche des Jahres

2013,

als ich vom SRN erfuhr, machte ich mehrere intressante Entdeckungen zu dem Thema.

Z . B

. zunächst durch Probieren

" Gegeben ein primitives Polynom

p

und seine Nullstelle

x_{0}

in gekürzter Darstellung.
Dann ist die von

x_{0}

induzierte Hornerfolge GANZZAHLIG . "

Allein daraus magst du ersehen, dass kein noch so berühmter Prof je auf die Idee kam, eine Bruchzahl in ein Polynom einzusetzen

. .

. Ich sag das nur; demnach erwarten swir, das auch unsere Hornerfolge keine Bruchterme enthält - alles halb so wild, alter Junge.
Zunächst dein Polynom

f (x) := b_{4} x^{4} + b_{3} x

+ b_{2} x

+ b_{1} x + b_{0} (1 a)

b_{4} := 3 b^{4}; b_{3} := 8 a b

; b_{2} := 6 a

b

; b_{1} = 0; b_{0} = - a^{4} (1 b)

Wir hatten gesagt

x_{0} = - \frac{a}{b}

. ich kann das hier nur schreiben wie eine Partitur von Chopin; zum Leben erwecken musst du dasSchema selber.

p_{4} (f) := b_{4} (f) = 3 b^{4} (2 a)

p_{3} (f; x_{0}) := p_{4} x_{0} + b_{3} (f) = 5 a b

(2 b)

p_{2} (f; x_{0}) := p_{3} x_{0} + b_{2} (f) = a

b

(2 c)

p_{1} (f; x_{0}) := p_{2} x_{0} + b_{1} (f) = - a

b (2 d)

p_{0} (f; x_{0}) := p_{1} x_{0} + b_{0} (f) = 0 = f (x_{0}) (2 e)

godzilla12 aktiv_icon

16:34 Uhr, 08.01.2019

Jetzt hab ich ja das wichtigste vergessen. PD geht ja so:

f (x) : (x - x_{0}) = g (x) (2.1)

Und ich wollte dir doch erklären, was Horner

(1.2 a - e)

mit PDLF zu schaffen hat. In jeder Zeile fehlt noch eine Position

p_{4}; 3; 2; 1 (f; x 0) = b_{3}; 2; 1; 0 (g) (2.2)

D . h

. in jeder Zeile

(1.2 a - d)

ermittelst du effektiv einen Koeffizienten von

g

1454453

1454414

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?