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Gleichung Modulo m mit einer einer Unbekannten

Universität / Fachhochschule

Tags: Modulo unbekannte

binfob

10:26 Uhr, 05.07.2020

Hallo zusammen,

es geht um eine Problem beim Lösen einer Gleichung mit einem Modul mit einer Unbekannten:

(89 \cdot a) mod 97 = 47

Es gilt hier a zu bestimmen. Die (eine) Lösung dazu lautet:

a = 97 \cdot n + 79, n

element

Z

Leider ist es mir bisher nicht gelungen die einzelnen Schritte zu dieser Lösung zu finden. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir diese Schritte zeigen könnte.

Vielen Dank im Voraus!
Berti

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

10:55 Uhr, 05.07.2020

Hallo,

hier eine "unsystematische" Lösung:

89 a \equiv 47

mod

97 \overset{}{\Leftrightarrow}

- 8 a \equiv - 50

mod

97 \overset{}{\Leftrightarrow}

4 a \equiv 25 \equiv - 72

mod

97 \overset{}{\Leftrightarrow}

a \equiv - 18 \equiv 79

mod

97

.

Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

11:09 Uhr, 05.07.2020

Hallo,

suche nach "inverses modulo". Auf den Seiten der dortigen Treffer werden (wie vermutlich auch in deinem Skript oder deiner Mitschrift) erklärt, wie man das rechnet.

Nach etlicher Recherche habe ich auch einen geeigneten Faden hier im Forum gefunden:
www.onlinemathe.de/forum/Multiplikatives-Inverses-finden-

Mfg Michael

binfob

11:18 Uhr, 05.07.2020

Hallo Ermanus,

herzlichen Dank für deine schnelle Antwort. Zur Erklärung, ich bin weder Schüler noch Student sondern nur in Teilbereichen mathematisch interessiert. Leider fehlt mir für diesen Bereich wohl das mathematische Rüstzeug. Vielleicht wärst du bereit, mir bei den einzelnen Schritten zu den Gesetzmäßigkeiten zu helfen?

1. Ursprung auf Schritt eins:

mod 97

wandert auf die rechte Seite. Nach welcher Gesetzmäßigkeit kann das geschehen?
2. Schritt eins auf Schritt zwei:
Es werden

97

abgezogen. Kann das beliebig geschehen? Ist es Zufall, dass es hier identisch zum Modul ist?
3. Schritt zwei auf Schritt drei:
Es wird durch zwei geteilt. Wie kommt die

- 72

zustande?
4. Schritt drei auf Schritt vier:
Diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen.

Danke für deine Mühe!
Berti

binfob

11:31 Uhr, 05.07.2020

Hallo Michael,

danke für deine Antwort. Da ich mich schon einige Zeit damit beschäftige, bin ich tatsächlich auch schon auf das multiplikative Inverse Modulo

n

gestoßen. Leider ist das fast immer in der Form a ∗ a−1 ≡

1 (mod n),

so wie

z . B

. hier: www.uni-weimar.de/fileadmin/user/fak/medien/professuren/Mediensicherheit/Teaching/WS1819/Diskrete_Strukturen/ds02.pdf

(S

24)

Die "Umformung" auf meine "Gleichung" will mir nicht gelingen. Ich werde mir deinen genannten Beitrag ansehen und hoffe hier weiter zu kommen.

Danke!
Gruß Berti

ermanus aktiv_icon

11:31 Uhr, 05.07.2020

89 a

mod

97

= 47

bedeutet ja, dass

89 a

und

47

bei Division denselben Rest mod

97

liefern,
das ist dasselbe wie zu sagen

89 a - 47

ist durch

97

teilbar,
Für "

x - y

ist durch

m

teilbar" hat Gauss die Schreibweise
"

x \equiv y

mod

m

" eingeführt, eine sogenannte "Kongruenz".
Mit Kongruenzen rechnet man "fast genauso" wie mit Gleichungen:
Aus

x \equiv y

mod

m

und

u \equiv v

mod

m

kann man

x \pm u \equiv y \pm v

und

x * u \equiv y * v

mod

m

schließen.
Da

m \equiv 0

mod

m

ist, kann man sowohl links als auch rechts
in einer Kongruenz beliebige ganzzahlige Vielfache von

m

addieren.
Damit sind 1. und 2. wohl geklärt?
Zu 3: es ist

25 - 97 = - 72

(ein Vielfaches von

m

rechts abgezogen)
Zu 4: es ist

- 18 + 97 = 79

(ein Vielfaches von

m

rechts addiert)

Gruß ermanus

binfob

12:11 Uhr, 05.07.2020

Hallo Ermanus,

ganz herzlichen Dank! Großartig, Problem gelöst.

Einen schönen Sonntag.
Berti

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