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Gleichung Umformen (Prandtl-Colebrook Fließformel)
Universität / Fachhochschule
Tags: Fließgeschwindigkeit, Gleichungen, Gleichungssystem, Prandtl Colebrook, Umformen, umstellen, Wolfram Alpha
 
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Guten Tag! Ich versuche die Prandtl Colebrook Fließformel nun schon seit einiger Zeit nach „IE“ umzuformen (für einen Nachweis). Kollegen konnten mir bis jetzt leider nicht weiterhelfen und Wolfram Alpha auch nicht. Die Formel lautet ( soll nach „IE“ umgeformt sein): vm = -2*lg((2,51*v)/(d*wurzel(2*g*d*IE))+k/(3,71*d))*wurzel(2*g*IE*d) Im Anhang findet man ebenfalls ein Bild der Formel. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen. Schonmal danke im Voraus!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Diese Gleichung kann man algebraisch nicht nach I_E umstellen. Verwende ein Näherungsverfahren, falls die anderen Variablen bekannt sind. |
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Hallo, ich definiere . Dann ist strukturell die Gleichung Im Prinzip ist das eine quadratische Gleichung die erst einmal nach x aufgelöst werden kann. Gruß pivot |
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Danke für deine schnelle Antwort! Ich habe einen Lösungsansatz nach deinem Vorschlag angefangen(im Anhang als Bild). Ich wüsste aber nicht wie ich jetzt auf kommen kann da ich ja auch noch den Log drin habe den ich auflösen muss.  |
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Ach, ich habe leider den Logarithmus übersehen. Da stimme ich supporter zu, dass die Gleichung nicht algebraisch lösbar ist. Dann doch eine Approximationsmethode wie das Newtonverfahren verwenden. Dazu würde ich auch die Gleichung strukuturell darstellen. Dafür erst einmal alles auf die linke Seite. Ich hoffe du kannst die Konstanten selbst identifizieren. So ist z.B. . Wenn für den 10er-Logarithmus steht, dann würde ich verwenden, dass . Das macht die Ableitung leichter. |
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Die Gleichung lässt sich nach IE auflösen, wenn man die Lambertsche W-Funktion verwendet. Allerdings ist diese keine elementare Funktion und in aller Regel auch nur näherungsweise bestimmbar. de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion Wenn du allerdings ein Mathe-Programm oder eine Programmier-Toolbox verwendest, in der diese Funktion bereits implementiert ist, kann die folgende Darstellung Sinn machen: EDIT: Diese Umformung ist grundfalsch. Ich bin da offenbar von einer wesentlich anderen Grundformel ausgegangen. Die richtige Umstellung nach findet sich weiter unten in einer weiteren Antwort von mir. |
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Danke für deine Antwort! Ich müsste mir das mal genauer ansehen,da mir das noch nicht ganz klar ist. @pivot |
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@ Roman-22 Danke dafür das ist schonmal eine große Hilfe! Ich hab im WolframAlpha Rechner meine Werte für versucht zu rechnen leider scheint das aber für Werte wie zb. nicht zu funktionieren. Ich habe jetzt denke ich trotzdem eine funktionierende Methode mit der ich auf IE relativ genau kommen kann. Trotzdem wäre eine "richtige" Lösung besser. Kann man irgendwo irgendwie für Werte um die rechnen? |
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Ich habe für www.wolframalpha.com/input/?i=lambertW%280.00000036%29 Das heißt müsste ergeben. Das schein so zu sein: www.wolframalpha.com/input/?i=0.00000036*exp%280.00000036%29 |
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Das liegt wohl daran, dass |
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Das liegt wohl daran, dass ist. |
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Das liegt wohl daran, dass ist. |
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Ok anscheinend macht es einen Unterschied ob man nur eingibt oder lambertW(). Das hat jetzt geklappt! Wie Roman-22 schon gesagt hat ist die Formel nur ungefähr richtig. Da es in meinem Fall aber einen großen Unterschied macht ob da jetzt oder rauskommt ist die Formel leider ohne irgendwelche Faktoren "dazuzubasteln" nur bedingt nutzbar. Das hat mir aber sehr weitergeholfen! Falls jemand trotzdem eine noch genauere Formel hat wäre das super! |
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Falls jemand trotzdem eine noch genauere Formel hat wäre das super! Die angegeben Formel ist schon ganz genau! Nur die Berechnung der konkreten Werte der Lambert-W Funktion ist halt nicht elementar mit ein paar Additionen oder Multiplikationen zu bewerkstelligen. Aber Rechenknechte wie Wolfram Alpha sollten dir die Werte dieser Funktion mit "beliebiger" Genauigkeit liefern können und sicher zwischen und unterscheiden können. Und wenn du ohnedies WA nutzt, musst du ja nicht die angegebene Umformung nutzen, sondern kannst deine Gleichung direkt eingeben und numerisch lösen lassen. Wenn du die Sache selbst programmieren möchtest, musst du entweder einen einigermaßen stabilen Algorithmus zur Lösung nichtlinearer Gleichungen implementieren (besser: eine fertige Toolbox verwenden) oder einen entsprechenden Algorithmus zur Bestimmung der Werte der Lambert-W Funktion einbauen. Mein Rechenknecht liefert mir übrigens  und ist sich damit mit WA ziemlich einig  |
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Aus der definierenden Eigenschaft der LambertW-Funktion kann man ja implizit die Ableitungen berechnen und damit auch eine Taylorentwicklung im Nullpunkt, deren Anfang lautet so Reicht sicher aus für das vorliegende Zahlenbeispiel. ;-) |
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Danke an alle die sich die Mühe gemacht haben mir zu Antworten! @ Roman-22 Hm ich glaube irgendwas passt da trotzdem nicht ganz. Ich habe mit der Prandtl Colebrook Formel mir einen Wert ausgerechnet und IE mit angenommen, dann habe ich die Werte die ich verwendet habe in die Umgeformte Formel eingesetzt. Das Problem ist das für IE nicht rauskommt (nur mit "dazugebastelten Faktor"). Ich bin mir ziemlich sicher,dass die Formel richtig eingegeben wurde da es für die Prandtl Colebrook Formel eine Tabelle für vm gibt und die alle mit meinen Weren übereinstimmen. Die Umgeformte Formel habe ich auch sicher richtig eingegeben. Im Bild (im Anhang) sieht man meine Exceltabelle mit den Formeln. Kann das sein das ich was übersehe?  |
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Mit welchen Werten bist du denn auf gekommen, doch sicher nicht mit den darunter in der Tabelle aufgeführten oder hast du anstatt für I_E eingesetzt, wie man gem. deiner künstlerisch wertvollen Zeichnung vermuten könnte? Wie hast du den Füllungsgrad von berücksichtigt? Wo hast du denn den Faktor von her bzw. wie lautet deine Bastelanweisung dafür? |
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Wie du mit deinen im Bild ersichtlichen Werten auf die gekommen bist, ist mir auch nicht erklärlich. Wobei ich allerdings deinen künstlerischen Pfeilen nicht weiter gefolgt bin, sondern nur mit deinen Werten den zugehörigen Wert ausgerechnet habe: Zu deinem Wert würde der Wert passen. Meine ursprünglich angegebene Formel mit der Lambert-W Funktion für ist allerdings leider tatsächlich falsch. Ich kann es nicht mehr genau nachvollziehen, aber ich bin damals offenbar von einer anderen Grundfunktion ausgegangen. Dass meine Formel falsch ist erkennt man . ja auch daran, dass sie nicht mehr Einheitenkonsistent ist. Allein der falsche 10er-Exponent (müsste dimensionslos sein) hätte mich von einem Absenden des Beitrags abhalten müssen. Sorry für die gestiftete Verwirrung. Aber wenn du ohnedies mit Excel arbeitest, kannst du doch einfach die Grundformel verwenden und dir mit dem Solver berechnen lassen. |
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Der Vollständigkeit halber und als kleine Buße gebe ich hier die richtige Formel für an (im Bild unten rot hinterlegt) und deren Überprüfung anhand zweier konkreter numerischer Beispiele. Natürlich spielt die Lambert-Funktion wieder eine zentrale Rolle. Ich denke aber nach wie vor, dass in Excel die Verwendung der Ausgangsformel und des Solvers vermutlich der sinnvollste und auch einfachste Ansatz ist.  |
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