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Gleichung des Krümmungskreises der Kurve berechnen

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Tags: Funktionalanalysis, Körper, Maßtheorie, polynom, Relation.

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09:14 Uhr, 01.04.2019

Hi, wie kann ich die Gleichung des Krümmungskreises der Kurve bestimmen?

geg:

y (x) = - x^{4}

im Punkt

(- 1,1)

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

Respon

09:32 Uhr, 01.04.2019

Du meinst wohl

(- 1 | - 1)

oder

(1 | - 1)

oder deine Funktion sieht anders aus.

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09:45 Uhr, 01.04.2019

Ja genau, sorry hab es vertauscht. Punkt ist

(1, - 1)

Respon

09:48 Uhr, 01.04.2019

Hoffentlich musst du die relevanten Formeln nicht selbst ableiten. Es gibt sie in jeder guten Formelsammlung.

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10:04 Uhr, 01.04.2019

Welche Formel muss ich nehmen ?
Die hier ?
f‘‘(x)/(1+f‘(x)^2)^3/2

Im Zähler sollte (Betrag) zweite Ableitung stehen.

Respon

10:09 Uhr, 01.04.2019

Ist nicht leserlich, aber wegen des Exponenten

(\frac{3}{2})

vermute ich den Radius des Krümmungskreises.

ρ = \frac{{(1 + y^{' 2})}^{\frac{3}{2}}}{| y^{''} |}

mit

y^{'}

und

y^{''}

ist der Wert an der Stelle

x = 1

gemeint

Und die Koordinaten des Mittelpunktes

. .

Atlantik aktiv_icon

10:09 Uhr, 01.04.2019

Zähler:

[1 + f

(x)]^{\frac{3}{2}}

Nenner:

f

´ ´

(x)

r = | \frac{Z}{N} |

mfG

Atlantik

Respon

10:12 Uhr, 01.04.2019

Der Betrag ist wegen

... .

= ρ^{2}

nicht wirklich relevant.
( zum Vergleich

ρ \approx 5,84)

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10:17 Uhr, 01.04.2019

Danke

Respon

10:19 Uhr, 01.04.2019

Der Radius ist ja noch nicht die Gleichung des Krümmungskreises. Hast du die Gleichung ?

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10:28 Uhr, 01.04.2019

Ich habe die Formel der expliziten Darstellung genommen. Das wäre die,wie du sagst, vom Krümmungsradius.

Edit: ok doch ich muss die von dir nehmen

Respon

10:30 Uhr, 01.04.2019

Für die Gleichung des Krümmungskreises benötigst du noch die Koordinaten des Kreismittelpunktes.

Respon

10:47 Uhr, 01.04.2019

. .

. und weg ist er !

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10:57 Uhr, 01.04.2019

Ne bin nicht weg. Für die Formel Krümmungsradius hab ich

\frac{{(1 + 16 x^{6})}^{\frac{3}{2}}}{12 x^{2}}

dann setz ich die Werte ein, Danach brauch ich die Krümmungsmittelpunkte und muss sie dann in Parameterdarstellung hinschreiben oder?

Respon

11:05 Uhr, 01.04.2019

Den Radius des Krümmungskreises hast du vermutlich schon

(ρ \approx 5,84)

Die Koordinaten des Kreismittelpunktes bekommst du mit

x_{M} = x - \frac{y^{'} \cdot (1 + y^{' 2})}{y^{''}}

und

y_{M} = y + \frac{1 + y^{' 2}}{y^{''}}

Mit

x, y, y^{'}

und

y^{''}

sind die Zahlenwerte für

(1 | - 1)

gemeint.
Im Gegensatz zu

ρ

lassen sich die Koordinaten leicht "händisch" berechnen.

und dann...

k : {(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = ρ^{2}

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11:31 Uhr, 01.04.2019

Das

x

in der 1 ten Gleichung vor dem Bruch verwirrt mich vollkommen. Was soll ich da einsetzen?

Respon

11:32 Uhr, 01.04.2019

Den x-Wert des Punktes, also

x = 1

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11:48 Uhr, 01.04.2019

K : {(x + 4,25)}^{2} + {(y + 2,42)}^{2} = {5,48}^{2}

stimmt nicht oder?

Respon

11:53 Uhr, 01.04.2019

Auf zwei Dez.stellen gerundet müsste es

4,67

sein
Also Rechengang vermutlich richtig.
Vergleiche mit Grafik

Respon

12:03 Uhr, 01.04.2019

So, muss offline gehen.

Atlantik aktiv_icon

14:26 Uhr, 01.04.2019

Alternative:

Mit Formel den Krümmungskreisradius bestimmen:

r = 5,84

Tangente an

f (x) = - x^{4} :

f

(x) = - 4 x^{3}

f

(1) = - 4 \cdot 1^{3} = - 4

Senkrechte auf Berührpunkt

(1 | - 1)

\frac{y + 1}{x - 1} = \frac{1}{4}

y = \frac{1}{4} x - \frac{5}{4}

Kreis um

B (1 | - 1)

mit

r = 5,84

schneidet die Senkrechte in M:(Mittelpunkt des Krümmungskreises)

{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {5,84}^{2}

. .

.

mfG

Atlantik

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21:27 Uhr, 01.04.2019

Vielen Dank!

Respon

21:35 Uhr, 01.04.2019

Oder - wenn du nicht gerne mit fertigen Formeln arbeitest.
Der Krümmungskreis benötigt drei Angaben: Die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius.
Bastle drei Gleichungen für diese drei Unbekannten.

1)

Gemeinsamer Punkt ( Koordinaten erfüllen die Kreisgleichung )

2)

Übereinstimmung der 1. Ableitungen im gegebenen Punkt

und

3)

Übereinstimmung der 2. Ableitungen im gegebenen Punkt.

Da deine Ausgangsfunktion sehr einfach ist, ist der Rechenaufwand gering.

Wenn du diese Überlegungen allgemein durchführst ( etwas mehr Rechenaufwand ) kommst du zu den oben verwendeten Formeln.

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