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Gleichung so verändern, dass keine Lösung da ist

Schüler , 9. Klassenstufe

Tags: Gleichungen

Felicialie aktiv_icon

17:05 Uhr, 22.06.2016

Wenn man diese Gleichung hat...

5 x + 2 y = - 3

x - 6 y = - 23

bekommt man das Lösungspaar

(- 2 | 3,5)

Worauf muss man achten, wenn man die Gleichung jetzt so verändern soll, dass keine bzw. unendlich viele Lösungen rauskommen (ohne viel zu rechnen/auszuprobieren)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Werner-Salomon aktiv_icon

17:15 Uhr, 22.06.2016

Verändere die Gleichung so, dass das die Produkte aus den Faktoren vor

x

und

y

'über Kreuz' jeweils gleich sind.
Also hier wären

5 \cdot - 6 \neq 2 \cdot 1

schreibst Du vor das

x

der zweiten Gleichung eine

- 15

so erhälst Du

5 \cdot - 6 = 2 \cdot - 15

und die Gleichung hat keine eindeutige Lösung (in diesem Fall gar keine)

Gruß
Werner

Felicialie aktiv_icon

17:23 Uhr, 22.06.2016

Huhu, erstmal danke für die hilfreiche Antwort :-)

1. wenn
5⋅−6≠2⋅1

und man es kreuzweise so verändert, dass die gleichen Ergebnisse rauskommen, hat die Gleichung keine Lösung, wenn dann am Ende noch

= 3

und

= 23

steht, oder? Wie genau darf man sie verändern?

das zweite Beispiel verstehe ich, danke!

Werner-Salomon aktiv_icon

17:28 Uhr, 22.06.2016

Du scheibst: ".. wenn dann am Ende noch =3 und =23 steht, oder? Wie genau darf man sie verändern?"

Ich verstehe die Frage nicht.

Die Werte auf der rechten Seite haben keinen Einfluß darauf, ob die Lösung eindeutig ist. Es kommt nur auf die Faktoren vor

x

und

y

an.

Felicialie aktiv_icon

17:35 Uhr, 22.06.2016

5 x + 2 y =

−3

x

−

6 y =

−23

wenn man hier jetzt

5 \cdot (- 6) \neq 2 \cdot 1

- 30 \neq 2

hat, was bedeutet das? Heißt das nicht, dass die Gleichung keine Lösung hat? Was muss man hier verändern, um eine/keine/unendlich viele Lösung(en) zu finden? Ich habe diese Art, es zu lösen vorher noch nie gesehen und bin deswegen etwas verwirrt.

Werner-Salomon aktiv_icon

18:10 Uhr, 22.06.2016

Oh - ich habe mich vielleicht etwas unklar ausgedrückt.
Wenn die oben beschriebenen Produkte gleich sind, dann gibt's KEINE eindeutige Lösung. Sind die Produkte ungleich - wie im Fall -30 ungleich 2 - so gibt es genau eine Lösung.
Es sagt nichts darüber aus. Wie dieLösung lautet

Felicialie aktiv_icon

18:37 Uhr, 22.06.2016

Wenn also das rauskommt:

x = x \to

keine eindeutige Lösung

x = y \to

genau eine Lösung
? = ?

\to

unendlich viele Lösungen

Gilt das immer und was wäre es bei unendlich vielen?

Atlantik aktiv_icon

18:54 Uhr, 22.06.2016

5 x + 2 y = - 3 \to

1 .) y = - \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

x - 6 y = - 23

x + 23 = 6 y \to

2 .) y = \frac{1}{6} x + \frac{23}{6}

Schreibst du nun

1 .) y = \frac{1}{6} x - \frac{3}{2},

dann hat diese Gleichung die gleiche Steigung wie

2 .)

Somit sind die beiden Geraden parallel.

\to

kein Schnittpunkt

Unendlich viele Schittpunkte gibt es , wenn beide Gleichungen identisch sind:

5 x + 2 y = - 3 | \cdot 2 \to \to 10 x + 4 y = - 6

mfG

Atlantik

Werner-Salomon aktiv_icon

20:23 Uhr, 22.06.2016

Hallo Felicialie,

ich habe Deinen letzten Beitrag von 18:37 nicht verstanden.
Ich versuche es noch mal:

Angenommen Du hast zwei Gleichungen mit den Unbekannten

x

und

y

in der Form

a \cdot x + b \cdot y = c

d \cdot x + e \cdot y = f

In Deinem Fall war das

5 \cdot x + 2 \cdot y = - 3

1 \cdot x + - 6 \cdot y = - 23

Um festzustellen, ob es eine eindeutige Lösung gibt, so berechne

p_{1} = a \cdot e

und

p_{2} = b \cdot d

ist

p_{1} \neq p_{2}

, so gibt es GENAU EINE Lösung.
Ist aber

p_{1} = p_{2}

so gibt es KEINE eindeutige Lösung. In diesem Fall kann es unendlich viele oder gar keine Lösung geben.

In Deinem Fall war

p_{1} = 5 \cdot - 6 = - 30

und

p_{2} = 2 \cdot 1 = 2

die Produkte sind ungleich, also gibt es eine Lösung.

Wenn die Gleichungen aber

5 \cdot x + 2 \cdot y = - 3

- 15 \cdot x + - 6 \cdot y = - 23

wären, so erhält man für die beiden Produkte

p_{1} = 5 \cdot - 6 = - 30

und

p_{2} = 2 \cdot - 15 = - 30

die gleichen Werte. Gleiche Werte für

p_{1}

und

p_{2}

heißt, dass es keine eindeutige Lösung gibt.
Aber damit ist noch nicht bestimmt, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt! Wie Atlantik schon erwähnte, gibt es genau dann unendlich viele Lösungen, wenn beide Gleichungen gleich sind, d.h. durch Multiplikation in einander überführt werden können.

Das kann man im Fall von

p_{1} = p_{2}

prüfen (ohne viel zu rechnen/auszuprobieren), wenn man wieder zwei Produkte bestimmt und zwar

p_{3} = a \cdot f

und

p_{4} = c \cdot d

Sind die Produkte

p_{3}

und

p_{4}

identisch, so gibt es unendlich viele Lösungen, sind sie verschieden, so gibt es keine Lösung.
Im Fall

5 \cdot x + 2 \cdot y = - 3

- 15 \cdot x + - 6 \cdot y = - 23

gibt es keine eindeutige Lösung, da

p_{1} = p_{2}

und da

p_{3} = 5 \cdot - 23 = - 115

und

p_{4} = - 3 \cdot - 15 = 45

sind, also

p_{3} \neq p_{4}

, gibt es gar keine Lösung.

Gruß
Werner

anonymous

02:40 Uhr, 23.06.2016

Kurz zusätzlich:

Felicialie, mach Dir den Zusammenhang mal mit dem Additions, bzw- Subtraktionsverfahren klar:

Das LGS

2 x + 3 y = 10

x + 3 y = 10

führt nach Subtraktion der Gleichungen zu

x = 0

also ist das LGS nur "wahr", wenn

x = 0

ist ->eine eindeutige Lösung.

Das LGS

2 x + 3 y = 10

2 x + 3 y = 10

führt nach Subtraktion der Gleichungen zu

0 = 0

was unabhängig etwa der Wahl von

x

immer wahr ist

\to

unendlich viele Lösungen

Das LGS hingegen

2 x + 3 y = 10

2 x + 3 y = 20

hat gar keine Lösung, denn Subtraktion ergibt

0 = - 10

was unabhängig von

x

und

y

nie wahr ist ->keine Lösung

Ergo gibts immer 0 oder unendlich viele Lösungen (was Werner mit KEINE EINDEUTIGE Lösung meint), wenn beide Variablen auf einmal wegfallen. Das passiert eben immer dann, wenn Werners Bedingung erfüllt ist.

ZB Das LGS

7 x + 21 y = 10

5 x + 15 y = 5

nun muss erst eine Variable auf den gleichen Vorfaktor gebracht werden, zB

x

auf

35 x

. Dazu musst Du "über kreuz" malnehmen - man sieht Werners Regel, denn wenn man es hier macht, erhält man bei

y

ja auch die selben Vorfaktoren, ergo fällt

y

beim Subtrahieren mit weg ->keine oder unendlich viele Lösungen!

35 x + 105 y = 50 | I \cdot 5

35 x + 105 y = 35

|II

\cdot 7

Wenn Du den Zusammenhang verstehst - bestenfalls mit dem Hintergrund der dann parallelen Geraden

s

. Atlantik - wirst Du Dir schnell selbst überlegen können, wann es in einem solchen Fall unendlich viele Lösungen gibt (bei

0 = 0),

und wann nicht

(0 = 3)

.

Hier zB erhielte man nach Subtraktion

0 = - 15,

was gar keine Lösung zuließe..

Warum haben wir hier nicht

0 = 0

erhalten?
Was hätte in der ersten Gleichung statt der

10

stehen müssen, damit es aufgeht?
Versuche den Zusammenhang zu verallgemeinern! ;-)

Grüße

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