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Gleichungen und Ungleichungen
Schüler Fachschulen, 8. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 14:34 Uhr, 13.04.2004  |
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Folgende Probleme: 1.) Ermittle für folgende parameterhaltige Gleichungen mit dem reellen Parameter p auf graphischem Wege, wie viele Lösungen sie (in Abhängigkeit von p ) besitzen ! a) |x-3| = 3px - 2 b) p - |x+1| = 0,5px + 1 2.) Beweise folgende Sätze: a) wenn a,b,c > 0 und Wurzel aus (ab + ac + bc) = 3, dann gilt abc <= a + b + c b) wenn a + b > 0 , dann gilt a/(b*b) + b/(a*a) >= 1/a + 1/b hat jemand eine Idee ? Danke. |
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Hallo, es ist schon spät, deshalb mal schnell zu 2.) b) wenn a + b > 0 , dann gilt (*) a/(b*b) + b/(a*a) >= 1/a + 1/b Die Aussage ist so schon einmal falsch. Denn man benötigt eine zusätzliche Voraussetzung: a ungleich 0 und b ungleich 0, da ansonsten (z.B.) 1/a bzw. 1/b nicht sinnvoll sein könnte. Und das folgt keineswegs aus a+b > 0, wie das Beispiel a=3 und b=0 zeigt! Wir setzen für (*) also schon einmal sinnvollerweise a ungl. 0 und b ungl. 0 zusätzlich vorraus. Es gilt (wegen a+b > 0 und (a-b)² >=0): (a+b)(a-b)²>=0 Daraus folgt: (a+b)(a-b)(a-b)=(a²-b²)(a-b) >=0 <=> a³-a²b-ab²+b³ >=0 <=> a³+b³ >= a²b+ab² Ist nun a ungl. 0 und b ungl. 0, so ist a² > 0 und b² > 0, also auch a²b² > 0. Also folgt: a³+b³ >= a²b+ab² |:(a²b²) <=> (a/b²)+(b/a²) >= (1/b)+(1/a) womit (*) bewiesen wäre ;-) Viele Grüße Marcel |
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Hallo! Die Lösung zu 2a) habe ich schon gefunden! Sehr einfach und elementar! Nachmittags findest du sie hier. Viele Grüße Marian |
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Hallo Marian, ein für Schüler nicht schöner (da nicht-elementarer) Beweis von 2a geht so: Die Funktion f(x,y,z) = 1/x + 1/y + 1/z nimmt unter der Nebenbedingung x+y+z=9 ihr Minimum für (x,y,z)=(3,3,3) an, d.h. für alle (x,y,z) gilt: 1/x + 1/y + 1/z >= 1. Daraus folgt die Behauptung (wenn man x=bc, y=ac und z=ab setzt und mit abc>0 durchmultipliziert). Ich bin mal auf deinen elementaren Beweis gespannt! Liebe Grüße Stefan www.matheraum.de |
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| Hier fehlte natürlich was: Die Funktion f(x)=1/x + 1/y + 1/z nimmt unter der Nebenbedingung x+y+z=9, x>0,y>0,z>0, ihr Minimum in (x,y,z)=(3,3,3) an. Das meinte ich. :-) | |
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Hallo Stefan! Ich werde folgendes voraussetzen (gemäss Bedingugngen der Aufgabe): Die Gleichung (*) multiplizieren wir mit a, b und letzendlich mit c; so bekommt man drei Gleichungen, etwa so: Wenn man (1), (2) und (3) zusammenadiert, bekommen wir folgende Gleichung: Habe ich die Aufgabe richit begriffen und zugleich kein Fehler gemacht, dann sollte es richtig sein. Sollte etwas unklar sein, dann fragt mich! Viele Grüße Marian |
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Hallo Marian, müßte die Gleichung (*) nicht (gemäß Aufgabenstellung) lauten: bzw. äquivalent dazu: ab+ac+bc=9 ? Viele Grüße Marcel |
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Hallo Marcel! Natürlich hast du Recht. Ich habe schlecht gelesen. Jetzt habe ich aber keine Zeit es zu korrigieren. Vielleicht ein paar Stunden später. Sorry! Marian |
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Hallo! Ich habe die Ungleichung auf eine andere Art bewiesen, als oben, aber leider nicht elementar. Ich habe die Partialableitungen benutzt. Ich arbeite aber an einer Methode, die hier helfen konnte. Ich sehe noch, ob ich ein gutes Ergebnis bekomme, das hier präsentiert werden konnte. Marian |
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Hallo Marian, dann hast du es so gemacht wie ich. Ich habe jetzt aber eine schöne Lösung. Verwendet man die HM-AM-Ungleichung (also die Ungleichung zwischen harmonischem und arithmetischem Mittel), so folgt: (a+b+c) / 3 >= 3 /( 1/a + 1/b + 1/c) ) (Leider funktioniert bei mir der Java-Formeleditor nicht.) Es gilt aber 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab) / (abc), woraus mit bc + ac + ab = 9 die Behauptung folgt. Link zur HM-AM-Ungleichung: user.chollian.net~jazzp/mathematics/inequality.pdf (Seite 4-14) Liebe Grüße Stefan |
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Hallo, wer (wie ich ;-) ) nicht so gerne englischsprachiges liest (meine (nicht besonders guten) Englischkenntnisse reichen zwar auch für Stefans Link ;-) ), die-/derjenige findet auch hier etwas zu der erwähnten Ungleichung: www.matha.rwth-aachen.de/lehre/SS01/ana3proseminar -> Bernd Reinhold ("Einige Ungleichungen") Viele Grüße Marcel |
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Hallo Marcel, Danke für den Link. Ich sehe jetzt (peinlicherweise) zum ersten Mal, dass die HM-AM-Ungleichung einfach eine Folgerung aus der Jensenschen Ungleichung, angewendet auf die Funktion f(x)=1/x, ist. Cool! Viele Grüße Stefan |
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Hallo Marcel, hey, jetzt stimmt mein Kommentar nicht mehr. Du hast den Link ausgetauscht. ;-) Der ist aber auch gut, dieser (Induktions-)Beweis von Cauchy ist für Schüler natürlich besser nachvollziehbar als der über die Jensensche Ungleichung. Viele Grüße Stefan |
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Hallo Stefan, ich habe den alten Link (hoffentlich) wiedergefunden. Es war wohl dieser: www.informatik.uni-leipzig.de~joe/lsgm/ung.ps -> Seite 4 ff. (?) Ich hatte den Link ausgetauscht, weil ich diesen Link zuerst eigentlich aus Versehen gesetzt hatte ;-) Viele Grüße Marcel |
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Hallo!! Ich habe auch eine Lösung gefunden. Zwar komplizierter, aber doch. Hier ist sie. (Ohne Gewähr!) _________________________________________________________________________ Wir werden voraussetzen, dass a, b und c positive reelle Zehlen sind, und ab + ac + bc = 9. Davon haben wir a = (9 - bc)/(b+c) => abc = bc(9 - bc)/(b + c), a + b + c = (9 - bc)/(b+c) + (b + c) = (9 + b^2 + c^2+ bc)/(b + c). Wir beweisen im Weiteren> abc <= a + b + c also \aquivalent dazu bc(9 - bc)/(b + c) <= (9 + b^2 + c^2+ bc)/(b + c) ... ... Dies ist aquivalent mit 8bc <= 9 + b^2 + c^2 + (bc)^2. O.B.d.A. sei b<=c, dann existiert ein "epsilon" so, dass 0< epsilon <=1, b=(c * epsilon). So bekommt man folgende biquadratische Gleichung: Diskriminant dieser Gleichung }hinsichtlich c^2) ist: Aber wenn die oben diquadratische Ungleichung gelten sollte, dann m\usste D<=0 sein, d.h. Aber was passiert mit der biquadratischer Ungleichung, wenn Dann ist aber zum Glück Aslo die biquadratische Ungleichung ist für unsere "epsilon" immer erfüllt. Das war aber äquivalent damit, dass bc(9 - bc)/(b + c) <= (9 + b^2 + c^2+ bc)/(b + c), also weiter noch äquivalent mit der Aussage der Aufgabe, d.h. abc <= a + b + c. Viele Grüße Marian P.S. Hoffentllich habe ich jetzt kein Fehler gemacht, denn ich hatte nicht viel Zeit, alles gründlich durchzulesen. (V.a. die Lösung der quadratischer Ungleichung mit Parameter "epsilon" - hier bin ich nicht 100% sicher). Jederfällig die Lösung mit Hilfe der A-G-Ungleichung finde ich sehr schön. |
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anonymous 19:11 Uhr, 23.08.2005 |
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hallo hab ein Problem mit Gleichungen .. wer kann mir helfen???? 7x/5 = 9x/10 - 3 ( 4/15 + x/2) ich weiss das ich hier zuerst das distributivgesetz anwenden muss ... das habe ich auch gemacht.. 7x/5 = 9x/10 - 4/5 + 3x/2 und jetzt?????? |
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anonymous 19:17 Uhr, 23.08.2005 |
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7x/5 = 9x/10 - 3 ( 4/15 + x/2) ich weiss das ich hier zuerst das distributivgesetz anwenden muss ... das habe ich auch gemacht.. 7x/5 = 9x/10 - 4/5 + 3x/2 / -9x/10 / -3x/2 7x/5-9x/10-3x/2=- 4/5 (14/10-9/10-15/10)x=-4/5 -10/10x=-4/5 x=4/5 |
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