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Gleichungssysteme über F2 lösen

Universität / Fachhochschule

20:35 Uhr, 21.04.2010

Hallo Forum!

Ich muss ein Gleichungssystem über den Restklassenkörper

F_{2}

lösen. Nun weiss ich nicht wie das geht, ob man erst das LGS ganz normal löst wie in

ℝ

und dann die einzelnen Lösungen in

F_{2}

angeben muss? oder geht das anders?
LGS:

x_{1} + x_{3} + x_{5} + x_{6} = 0

x_{2} + x_{4} + x_{5} = 1

x_{1} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 1

x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{6} = 1

20:45 Uhr, 21.04.2010

Nutze dasselbe *Verfahren* wie üebr

ℝ

.
Addiere beispielsweise Gleichung 1 zu Gleichung 3 und

5,

ergibt

(1 . + 3 .) : x_{3} + x_{4} = 1

bzw.

(1 . + 5 .) : x_{2} + x_{4} + x_{5} = 1

das ist dasselbe wie

(2 .)

und damit kann diese Gleichung gestrichen werden.
Somit hätten wir jetzt

x_{1} + x_{3} + x_{5} + x_{6} = 0

x_{2} + x_{4} + x_{5} = 1

x_{3} + x_{4} = 1

x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0

Addiere hier die 2. zur 4. um dort

x_{2}

zu eliminieren. Das ergibt

x_{3} + x_{4} = 1,

ist also wieder redundant. Es bleibt

x_{1} + x_{3} + x_{5} + x_{6} = 0

x_{2} + x_{4} + x_{5} = 1

x_{3} + x_{4} = 1

Dies lässt sich jetzt "aufdröseln": Zu jedem

(x_{4}, x_{5}, x_{6}) \in F_{2}^{3}

finden wir mit

x_{3} = 1 + x_{4},

x_{2} = 1 + x_{4} + x_{5},

x_{1} = x_{3} + x_{5} + x_{6} = 1 + x_{4} + x_{5} + x_{6}

eine Lösung des Gleichungssystem.
Insgesamt gibt es also genau 8 Lösungen:

(1,1,1,0,0,0), (0,1,1,0,0,1), (0,0,1,0,1,0), (1,0,1,0,1,1), ..., (0,1,0,1,1,1)

20:47 Uhr, 21.04.2010

Alles klaaaaaar!
super danke!!!

anonymous

17:06 Uhr, 03.11.2015

Kann mir jemand helfen? Wäre super lieb
Den Anfang hab ich verstanden, aber wie kommt ihr daraus jetzt auf die ganzen Lösungen

(1,1,1,0,0,0), ...

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