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Gleichungssytem mit Spaltenpivotsuche lösen

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Tags: Numerik, Sonstig

Fisch18 aktiv_icon

16:00 Uhr, 06.11.2024

Hallo allerseits,
ich bräuchte mal eine Erklärung wie man die Spaltenpivotsuche für ein LGS anwendet, um folgendes LGS zu lösen

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 7 \\ 2 & 4 & 9 \\ 6 & 3 & 4 \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array})

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:41 Uhr, 06.11.2024

Einen sauberen Gauß-Algorithmus, wie er in einer Numerik-Vorlesung gelehrt wird, beherrscht Du? Gut. Das einzige, was hier dazu kommt, ist, dass man durch Zeilenvertauschung dafür sorgt, dass das Diagonalelement in der Zeile, in der man arbeitet, das größte ist, innerhalb der Spalte unterhalb der Diagonalen.
Also: erste Zeile, größtes Element unter dem Diagonalelement (die 1) ist die 6. Vertausche also 3. und 1. Zeile. Danach normaler Gauß-Schritt.
Danach zweite Zeile.
Fang mal an.

Fisch18 aktiv_icon

16:57 Uhr, 06.11.2024

Also als erstes vertauscht man die Zeilen

(\begin{array}{rcl} 6 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 9 \\ 1 & 2 & 7 \end{array})

Nach dem ersten Gauß Schritt hat man

(\begin{array}{rcl} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{23}{3} \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{19}{3} \end{array})

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17:06 Uhr, 06.11.2024

Gut, aber das ist ein LGS - Du musst die rechte Seite mitführen und den gleichen Operationen unterziehen wie die Matrix.
Jetzt (2. Schritt) arbeitet man ja mit der 3 (Element (2,2)) weiter. Die 3 ist aber schon das größte Element in der Spalte, nach unten gesehen (3/2 < 3), also keine Vertauschung nötig, weiter mit normalem Gauß-Schritt, und fertig (lösen des Dreiecksystem wie üblich).

Fisch18 aktiv_icon

17:21 Uhr, 06.11.2024

Ja die rechte Seite muss man auch beachten. Also nochmal:

(\begin{array}{rcl} 6 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 9 \\ 1 & 2 & 7 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 5 \\ 3 \\ 1 \end{array})

Nach dem ersten Gauß Schritt hat man

(\begin{array}{rcl} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{23}{3} \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{19}{3} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 5 \\ \frac{4}{3} \\ \frac{1}{6} \end{array})

Wenn man das mit der zweiten Zeile macht hat man

(\begin{array}{rcl} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 5 \\ \frac{4}{3} \\ - \frac{1}{2} \end{array})

Daraus kriegt man die Ergebnisse

x_{3} = - \frac{1}{5}, x_{2} = \frac{43}{45}, x_{1} = \frac{22}{45}

Wenn das alles ist, dann ist das einfach. Ich dachte man müsste noch LR-Zerlegung oder sonstige machen.

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17:29 Uhr, 06.11.2024

Die letzten Zahlen hab ich nicht nachgerechnet. Vorgehen ist richtig.
Wenn man Zeilenvertauschungen vornimmt, gibt es keine LR-Zerlegung mehr (also kein A=LR, nur ein A=PLR mit Permutationsmatrix P).
Z.B. hat deswegen auch eine Matrix, die links oben eine 0 hat, keine LR-Zerlegung. Hier muss man ja auch Zeilen vertauschen um überhaupt weiterzukommen. Trotzdem können solche LGS durchaus eindeutig lösbar sein.

Fisch18 aktiv_icon

17:34 Uhr, 06.11.2024

Alles klar, vielen Dank für die Hilfe.

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