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Gradien einer Kurve

Universität / Fachhochschule

Tags: Gradient, Kurvenintegral

nudeln2 aktiv_icon

18:32 Uhr, 03.10.2017

Hallo, allerseits.

Ich habe mir heute das Video www.youtube.com/watch?v=0tjWWS2DGmU angeschaut. Interessant wird es ab

1 : 00 : 00

. Hier geht es um ein Kurvenintegral in der Form:

\int_{C} \vec{v} \cdot d \vec{s}

C . .

. Kurve mit

z

. B. Startpunkt

P_{1}

und Endpunkt

P_{2}

\vec{v} . .

. ortsabhängiger Wert (für einen gewissen Punkt auf der Kurve)

d \vec{s} . .

. ein kleines Teilstück der Kurve (innerhalb dessen sich

\vec{v}

nur unwesentlich ändert)

Nun kommt ein Gradient hinzu:

\vec{v} =

grad(

λ)

λ . .

. ein ortsabhängiger, skalarer Wert

\vec{v}

ist also die Ableitung von

λ

Eingesetzt in das Integral:

\int_{C}

grad(

λ) \cdot d \vec{s}

Das Integral einer Ableitung ergibt ganz normal wieder die Stammfunktion:

λ |_{P_{1}}^{P_{2}}

Und das ergibt logischerweise:

λ (P_{2}) - λ (P_{1})

Als nächstes wird nicht mit der Ableitung

d \vec{s},

sondern mit einer Differenz

Δ s

gearbeitet. Das ist jetzt kleiner Streckenvektor zwischen 2 Punkten, die nahe beieinander liegen, wo sich das

\vec{v}

kaum ändert.

Als Annäherung gilt dann:

\int_{C}

grad(

λ) \cdot d \vec{s} =

grad(

λ) \cdot Δ \vec{s}

Jetzt wird noch

\vec{s}

zerlegt in einen Betrag

Δ s

und einen Einheitsvektor

\vec{t} :

Δ \vec{s} = Δ s ⋆ \vec{t}

Wenn man das einsetzt, erhält man:

\int_{C}

grad(

λ) \cdot d \vec{s} =

grad(

λ) \cdot Δ s ⋆ \vec{t}

Dann wird noch durch

Δ s

dividiert und alles ein wenig umgestellt:

\vec{t} \cdot

grad(

λ) = \frac{1}{Δ s} ⋆ \int_{C}

grad(

λ) \cdot d \vec{s}

Zuletzt kann man das Integral noch durch die obige Differenz ersetzen:

\vec{t} \cdot

grad(

λ) = \frac{1}{Δ s} ⋆ (λ (P_{2}) - λ (P_{1}))

So weit, so schlecht. Nur das, was er danach noch am Schluss erzählt, verstehe ich nicht. Grundsätzlich ist mir klar, dass ein Gradient für eine Steigung steht.

Nehmen wir mal die Grafik im Anhang. Hier gibt es eine 2dimensionale, schwarze Kurve. Auf dieser Kurve habe ich spaßhalber 5 Punkte eingezeichnet. Und zu allen Punkten dieser Kurve gibt es gewisse

λ -

Werte, aufgrund dessen sich dann die rote Kurve ergibt.

Ich könnte jetzt irgendeinen Punkt auf der roten Kurve wählen und dort einen Gradienten einzeichnen. Das ist einfach nur eine Tangente.

Jetzt haben wir aber auch diesen Einheitsvektor

\vec{t}

. Und ich weiß mir damit nichts anzufangen.

Der Prof meint, man könne ihn beliebig wählen. Und ist er parallel zu Gradienten grad(

λ),

dann ist das Skalarprodukt maximal. Rein mathematisch verstehe ich das, aber was soll mir das jetzt eigentlich bringen?

Geht es hier darum, auf der roten Kurve den größten Anstieg zu finden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:55 Uhr, 03.10.2017

Hallo
Kannst du etwa Physik?
dann errechnet man die Arbeit längs einer Kurve durch

\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{s}

Wenn man ein Potential hier

λ,

üblicherweise

V

hat ist

\vec{F} =

grad V.
das

\vec{t}

ist ein Tangentenvektor an die Kurve

C

und nicht beliebig, dann ist

d \vec{s} =

vec(t)*ds
zu was das in dem video ausgerechnet wird insbesondere mit

Δ s

kann ich nicht sagen, weil ich keine Lust hab mir das anzusehen, weil er ja wohl vor

1.00

sagt, wozu er das rechnet.
Warum lernst du mit videos statt Büchern oder Vorlesungen?
was genau du nicht verstanden hast kann ich deiner Frage nicht entnehmen.
Wenn die Änderung des Potentials dieselbe Richtung hat wie der Weg, ist die Arbeit pro Wegstück am größten vielleicht das?
Oder der Prof sagt einfach das grad

λ

nicht die Steigung von

λ

ist, denn

λ (x, y, z)

hat ja keine "Steigung" sondern nur eine Richtung, in der seich ˜lambda am meisten ändert. in deiner zeichne ist

λ

nur

λ (x)

dann ist grad die Steigung. aber etwa

λ (x, y)

ist als Graph ein Gebirge, grad gibt die Richtung der steilsten Ab oder Anstiegs in dem Gebirge an.
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

12:56 Uhr, 04.10.2017

Vielen Dank für deinen Eintrag, allerdings bin ich mir unsicher mit deinem Eintrag.

Ich habe mal versucht, meine Grafik etwas zu verfeinern. Siehe Anhang. Stimmt mein Beispiel? Habe ich dort alles richtig eingetragen?

P. S. Natürlich sollten

P_{1}

und

P_{2}

etwas nähe nebeneinander liegen, aber dann tu ich mir schwer, auch die Texte vernünftig dazuzuschreiben.

nudeln2 aktiv_icon

15:33 Uhr, 04.10.2017

Ich glaube, ich bin der Sache mit dem

\vec{t}

jetzt einen Schritt näher gekommen.

Im darauf folgenden Vorlesungsvideo www.youtube.com/watch?v=Cyqahzn-cXw wird das Oberflächenintegral behandelt. Dort läuft alles ähnlich ab. Interessant ist dieser "Zirkulations-Einschub". Das ist von

28 : 20

bis

39 : 58

Angenommen, man hat ein 2dimensionales Vektorfeld, wobei sich dieses Feld um einen Punkt dreht.

Legt man nun eine Fläche um diesen Punkt planar auf das 2D-Vektorfeld, und ermittelt hierzu das Ringintegral, so erhält man einen Wert

< > 0

.

Legt man aber diese Fläche senkrecht auf diese 2dimensionale Fläche, dann liefert das Ringintegral 0.

Es hängt also davon ab, wie ich eine Fläche, über die das Ringintegral berechnet wird, in das Vektorfeld hineinlege. Diese Fläche wird

(u

a .)

über den Einheitsvektor

h a t {\vec{n}}

definiert. Dieser Vektor steht normal auf die Fläche.

Analog zum Kurvenintegral erhält man dann beim Oberflächenintegral: siehe Grafik im Anhang

Jetzt frage ich mich nur noch, welche Bedeutung das

\vec{t}

eigentlich hat. Kann ich das

\vec{t}

beim Kurvenintegral genauso beliebig wählen wie das

\vec{n}

beim Oberflächenintegral?

Ich glaube, ich sollte ein konkretes Beispiel sehen, um das verstehen zu können

. .

ledum aktiv_icon

16:29 Uhr, 04.10.2017

Hallo
deine Zeichnung ist für das Verständnis leider nicht sehr nützlich.
1. du schreibst zwar

Δ \vec{s}

aber das

\vec{t}

tritt nicht auf.

2,

du redest weiterhin von Steigung also grad= Steigung ohne darauf einzugehen, dass grad die Steigung nicht einer Kurve sondern die Richtung der größten Steigung in einem Gebirge ist.
um deine Zeichnung richtig zu interpretieren

: P 1

und

P 2

liegen auf der Linie des steilsten Anstiegs, die Kurve für

λ

ist der Weg im "Gebirge " der am steilsten nach unten geht. die Kurve

C

läuft darunter, so dass der Vektor

Δ \vec{s}

parallel zu dieser Richtung ist.

Ich denke nicht, dass dir diese Art Zeichnung etwas hilft. wenn du Höhenlinienbilder von

2 d

Funktionen kennst, kannst du grad leichter interpretieren.
Ich hab mir das Video nun doch ein Stück angesehen, der Prof versucht eine anschauliche Vorstellung von grad zu vermitteln, ich finde nicht, dass ihm das gelingt, und es hat auch wenig mit dem Stoff zu tun, den er eigentlich vermitteln will.
Also versuch nicht zu lange, dieses Stück der Vorlesung zu verstehen, sondern versuch die anschauliche Vorstellung von grad, die es eh nur für

2 d

Funktionen gibt anders zu erreichen.
sonst sagt der Graph einfach in welcher Richtung sich eine Funktion von,y,z am stärksten ändert, der Betrag etwa wie steil diese bestimmte ab, bzw Aufstieg ist.
Gruß ledum

HilbertRaum aktiv_icon

09:19 Uhr, 05.10.2017

Nur falls immernoch Dunkelheit herrscht, eine Anmerkung.
Du hattest das Integral

\int_{C} \vec{v} d \vec{s}

Wenn man das etwas genauer anschaut, kommt folgendes zum Vorschein:

Parametrisierung:

\int_{C} \vec{v} d \vec{s} = \int_{C} \vec{v} (s (t)) \vec{s} ʹ (t) d t

(dein Wegelement

d \vec{s}

ist anschaulich: Geschwindigkeit

•

Zeit = " s'

•

dt "= Weg)

\vec{v}

ist ja irgendein Vektorfeld entlang der Kurve (z.B. der Gradient).

Und wir wissen:

\vec{v} • \vec{s} ʹ = ∣ \vec{v} • \vec{s} ʹ ∣ \cos α

(das ist einfach eine Folg. aus Cauchy-Schwarz), wobei

α

der Winkel zwischen beiden Vektoren ist.

\vec{s} ʹ

ist der Geschwindigkeitsvektor in tangentialer Richtung an C.

Und wir wissen:

{\vec{s}}^{°} (= t) = \frac{\vec{s} ʹ}{∣ \vec{s} ʹ ∣}

ist der Einheitsvektor in tangentialer Richtung.

Also:

\vec{v} • \vec{s} ʹ = ∣ \vec{v} • \vec{s} ʹ ∣ \cos α = ∣ \vec{v} • {\vec{s}}^{°} ∣ \cos α ∣ \vec{s} ʹ ∣ = \vec{v} • {\vec{s}}^{°} ∣ \vec{s} ʹ ∣

Also: eigentlich betrachtest du beim Integrieren die Projektion von v in Richtung Tangente.

nudeln2 aktiv_icon

15:03 Uhr, 05.10.2017

OK. Jetzt hab ich's. Jetzt habe ich meinen Fehler gefunden.

\vec{t} \cdot

grad(

λ) = \frac{1}{Δ s} \cdot (λ (P_{2}) - λ (P_{1}))

Ich hatte mir diese Formel angeschaut. Hat man eine vorgegebene Kurve, ist alles rechts vom = fix, da verändert sich nichts. Dann hatte ich mir alles links vom = angeschaut, und mich gefragt, wenn rechts alles fix ist, wie kann

\vec{t}

dann verändert werden?

Das ist natürlich alles quatsch. Ist rechts alles fix, ist links auch alles fix. Aber verändert man den Kurvenverlauf, verändert sich beides, alles rechts vom

=,

alles links vom =.

Nun könnte man es haben wollen, dass der Kurvenverlauf so erfolgt, dass das Integral den Maximalwert liefert. Fix vorgegeben könnte der Startpunkt

P_{1}

sein.

P_{2}

muss nicht unbedingt fix vorgegeben sein. Er würde sich dann aus dem gewählten Kurvenverlauf ergeben. Und der Kurvenverlauf könnte so aussehen, dass man sich immer in Richtung des Gradienten bewegt. Und irgendwann nach einer gewissen Zeit, einer gewissen Entfernung oder entsprechend einem gewissen anderen Abbruchskriterium beendet man dieses Spielchen, dann ist man am Endpunkt

P_{2}

angelangt. Der von

P_{1}

nach

P_{2}

zurückgelegte Weg liefert dann den Maximalwert für das Integral. Egal, welchen anderen

P_{2}

man auf irgendeinen beliebig Weg wählt, der Integralwert wird dann nie größer sein.

Im Grunde genommen geht es hier um das Problem, mit dem man beim Backpropagation-Algorithmus in der KI zu tun hat. Man hat ein gewisses Fehler-Feld und nimmt darin eine gewisse Position ein. Um den Fehler möglichst rasch zu minimieren, muss man den "steilsten" Weg aus diesem Fehler-Feld suchen. Man bewegt sich dann immer entgegengesetzt dem Fehler-Gradienten.

OK, also das ist geklärt. Vielen Dank für eure Einträge :-)

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