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Gradient = Totale Ableitung?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

mathe-mitch aktiv_icon

10:30 Uhr, 04.07.2016

Hallo ich habe folgendes Funktion

f (x, y, z) = \frac{x^{4}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

und

f (0,0,0) = 0

Ich habe bereits die partiellen Ableitungen

f_{x}, f_{y}, f_{z}

auf ganz

ℝ^{3}

ausgerechnet, entsprechend weiss ich wie der Gradient aussieht.

Außerdem ist bereits gezeigt, dass alle part. Ableitungen auf ganz

ℝ^{3}

stetig sind,

d . h

f

ist stetig partiell diff-bar.

Im Skript, der mir zur Verfügung steht, heisst es zwar, dass aus stetig partiell diff-bar sofort die totale Diff-barkeit folgt, jedoch ist es nirgendwo erwähnt, was denn diese Totale Ableitung eigentlich ist.

In der Aufgabe steht dann entsprechend : Bestimmen sie den Gradienden und die totale Ableitung.
Heisst das etwa, dass die beiden verschieden sind? Ich bin verwirrt.

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

10:36 Uhr, 04.07.2016

Hallo,

der Gradient einer Funktion

f (x, y, z)

ist ein "Vektor" mit einzelnen partiellen Ableitungen als Vektorkomponeneten.

g r a d (f) = (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{matrix})

Das totale Differential einer Funktion

f (x, y, z)

ist eine "Summe" aus einzelnen Skalaren, welche die jeweilige partielle Ableitung enthalten.

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y + \frac{\partial f}{\partial z} d z

;-)

mathe-mitch aktiv_icon

11:02 Uhr, 04.07.2016

Danke für die schnelle Antwort, ich bin mir nur nicht

100 %

sicher dass totale Ableitung und totales Differential das gleiche ist (zumindest nicht für mein Prof).

Im allgemeinen wird für die totale Ableitung bei uns Df , bzw. an der Stelle

x_{0}

(x_{0})

geschrieben, manchmal auch

f' (x_{0})

.

Und habe noch ein Satz "gefunden", der besagt:

Für

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m},

ist Jf die mxn Jacobi-Matrix und es gilt in

x_{0}

(x_{0}) \cdot β =

(x_{0}) \cdot β,

mit

β \in ℝ^{n}

.

Da meine Abbldung

ℝ^{3} \to ℝ

geht, würde die Jacobi-Matrix

1 x 3

sein, also gerade der Gradient?

Macht das Sinn?

pwmeyer aktiv_icon

12:28 Uhr, 04.07.2016

Ja. Allerdings wird der Gradient traditionell als Spaltenvektor notiert, während die totale Ableitung als Jacobi-Matrix eine

1 \cdot 3

-Matrix ist.

Gruß pwm

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