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Gradient in Polarkoordinaten ausrechnen.

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Partielle Differentialgleichungen

ahmedhos aktiv_icon

15:10 Uhr, 06.02.2010

hallo zusammen,

Ich wollte wissen, wie man sich die Formel für den Gradienten in Polarkoordinaten herleitet?

Danke schön.

lg,

Ahmed

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

OmegaPirat

15:31 Uhr, 06.02.2010

über die kettenregel

wir betrachten einfach mal den die i-te komponente des ausdrucks

g r a d (φ)

das ist das gleiche wie

\nabla (φ) \cdot e_{y i}

Dabei ist

e_{y i}

ein einheitsvektor in richtung der i-ten koordinatenlinie.
nun sei

r

ein Vektor, der die transformationen der

x, y

und

z

koordinaten enhält. für polarkoordinaten gilt

z . B

x = r \cdot cos (α)

und

y = r \cdot sin (α)

und

z = 0

und es ist

r = (x, y, z)

dann gilt

e_{y i} = \frac{\partial (r)}{\partial (y i)} \cdot {(b_{y i})}^{- 1}

mit

{(b_{y i})}^{- 1} = | \frac{\partial (r)}{\partial (y i)} |

yi bedeutet nach welcher koordinate man ableitet, bei polarkoordinaten sind das ein winkel und

r

.
jetzt gilt:

\nabla (φ) \cdot \frac{\partial (r)}{\partial (y i)} \cdot {(b_{y i})}^{- 1} = (\frac{\partial (φ)}{\partial (x)} \frac{\partial (x)}{\partial (y i)} + \frac{\partial (φ)}{\partial (y)} \frac{\partial (y)}{\partial (y i)} + \frac{\partial (φ)}{\partial (z)} \frac{\partial (z)}{\partial (y i)}) \cdot {(b_{y i})}^{- 1} = \frac{\partial (φ)}{\partial (y i)} {(b_{y i})}^{- 1}

ahmedhos aktiv_icon

16:16 Uhr, 06.02.2010

Hallo Omegapirat,

Zuerstmal vielen Dank für die Antwort. Es hat dir bestimmt Zeit gekostet.
Mein Einwand:
Ich könnte auch hier schauen:
http://books.google.de/books?id=9xEztMJy22MC&pg=PA99&dq=theoretische+physik+gradient+polarkoordinaten&cd=1#v=onepage&q=&f=false
Und ich bekomme dasselbe mit und zwar nix :-D)!

Ich studiere leider kein Physik. Also, könntest du es mir bitte nur in diesem Spezialfall ein bisschen genauer erklären? Also nur in Polarkoordinaten.

Mein Wissensstand:

Ich weiß, dass die Einheitsvektoren bzw. Basisvektoren eines Koordinatensystems nichts anders als Tangenteneinheitsvektoren zu den Koordinatenlinien sind.

Ich weiß, dass der Gradient einer skalaren Funktion sich anders schreiben läßt, und zwar, wie du es oben gemacht hast:

\vec{\nabla} φ = [\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial x} \\ \frac{\partial φ}{\partial y} \\ \frac{\partial φ}{\partial z} \end{matrix}] = \frac{\partial φ}{\partial x} \cdot \vec{e_{x}} + \frac{\partial φ}{\partial y} \cdot \vec{e_{y}} + \frac{\partial φ}{\partial z} \cdot \vec{e_{z}} = < \vec{\nabla} φ; \vec{e_{x}} > \cdot \vec{e_{x}} + < \vec{\nabla} φ; \vec{e_{y}} > \cdot \vec{e_{y}} + < \vec{\nabla} φ; \vec{e_{z}} > \cdot \vec{e_{z}}

\vec{e_{r}} = \frac{\frac{\partial}{\partial r} [\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ z \end{matrix}]}{| \frac{\partial}{\partial r} [\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ z \end{matrix}] |} = [\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \\ 0 \end{matrix}]

\vec{e_{φ}} = \frac{\frac{\partial}{\partial φ} [\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ z \end{matrix}]}{| \frac{\partial}{\partial φ} [\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ z \end{matrix}] |} = [\begin{matrix} - sin (φ) \\ cos (φ) \\ 0 \end{matrix}]

< \vec{a}; \vec{b} >

ist das Skalarprodukt oder das innere Produkt

Ab hier komme ich nicht weiter

. .

. Wenn du langsam* ab hier aufbauen kannst, dann wäre ich dir sehr dankbar!

lg,

Ahmed

langsam*: Erinnere dich bitte daran, daß ich kein Mathematikstudium hinter mir habe :-D)

OmegaPirat

16:40 Uhr, 06.02.2010

Hallo
Also eine Regel, die du erstmal zur Kenntnis nehmen solltest, ist die verallgemeinerte Kettenregel
Du kennst sicherlich die Kettenregel noch von der Schule her
zum beispiel hast du sowas gegeben

f (g (x))

diese funktion willst du nach

x

ableiten, dann rechnest du innere ableitung mal äußere ableitung
man kann das dann auch so schreiben

\frac{d (f)}{d x} = \frac{d (f)}{d (g)} \cdot \frac{d (g (x))}{d x}

Dies lässt sich dann verallgemeinern, wenn die funktion von mehr als einer funktion abhängt, das sieht dann zum beispiel so aus:

f (g (x), h (x)) \Rightarrow \frac{d (f)}{d (x)} = \frac{d (f)}{d (g)} \cdot \frac{d (g)}{d x} + \frac{d (f)}{d h} \cdot \frac{d (h)}{d x}

Dies lässt sich auch auf 3 und mehr funktionen im argument erweitern.
Ist dir diese Verallgemeinerung der Kettenregel bekannt?
Die d’s bedeuten jetzt übrigens das

\partial

Symbol, mit d’s lässt sich das schneller schreiben, selbstverständlich differenziert man partiell.
Ohne diese Kettenregel wirst du die Transformation nicht hinbekommen können.

ahmedhos aktiv_icon

16:46 Uhr, 06.02.2010

Hallo Omegapirat,

Diese Kettenregel ist mir bisher ein Rätsel gewesen

. .

. Jetzt kapiere ich langsam

. .

. Ich schreibe es mir auf und schau mal, wie es mir weiterhilft

...

. In der Schule lernt man es mit "Strichen"

. .

. Das bringt auch nicht so viel nach vorne!

\frac{d f (g (x))}{d x} = \frac{d (f (g (x)))}{d x} \cdot \frac{d (g (x))}{d (g (x))} = \frac{d (f (g (x)))}{d (g (x))} \cdot \frac{d (g (x))}{d x}

Jetzt sagst du:

\frac{\partial f (g (x) + h (x))}{\partial x} = \frac{\partial f (g (x) + h (x))}{\partial x} \cdot [\frac{\partial g (x)}{\partial g (x)} + \frac{\partial h (x)}{\partial h (x)}] = \frac{\partial f (g (x) + h (x))}{\partial g (x)} \cdot \frac{\partial g (x)}{\partial x} + \frac{\partial f (g (x) + h (x))}{\partial h (x)} \cdot \frac{\partial h (x)}{\partial x}

Ist denn

[\frac{\partial g (x)}{\partial g (x)} + \frac{\partial h (x)}{\partial h (x)}] = 1

?! Ich nehme die Regel auf jeden Fall so hin, um zum Ziel zu kommen.

Sei

ψ (r, φ, z)

eine Skalare Funktion und

\vec{r} = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ z \end{matrix}] \Leftrightarrow [\begin{matrix} r \\ φ \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ a r c t a n (\frac{y}{x}) \\ z \end{matrix}]

eine Transformationsvorschrift von kartesischen Koordinaten zu räumlichen Polarkoordinaten und umgekehrt:

\Rightarrow \vec{\nabla} ψ (r, φ, z) = [\begin{matrix} \frac{\partial ψ (r, φ, z)}{\partial x} \\ \frac{\partial ψ (r, φ, z)}{\partial y} \\ \frac{\partial ψ (r, φ, z)}{\partial z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial x} \\ \frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial y} \\ \frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial z} \end{matrix}]

\frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial x} = \frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial x} \cdot [\frac{\partial r (x, y)}{\partial r (x, y)} + \frac{\partial φ (x, y)}{\partial φ (x, y)} + \frac{\partial z}{\partial z}]

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (a r c t a n (\frac{y}{x})) + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{2 \cdot x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{- \frac{y}{x^{2}}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot 0 = \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{- y}{x^{2} + y^{2}}

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot cos (φ) - \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot sin (φ)

\frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial y} = \frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial y} \cdot [\frac{\partial r (x, y)}{\partial r (x, y)} + \frac{\partial φ (x, y)}{\partial φ (x, y)} + \frac{\partial z}{\partial z}]

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{\partial φ}{\partial y} + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a r c t a n (\frac{y}{x})) + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{2 \cdot y}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot 0 = \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot sin (φ) + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot cos (φ)

\frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial z} = \frac{\partial ψ (r (x, y), φ (x, y), z)}{\partial z} \cdot [\frac{\partial r (x, y)}{\partial r (x, y)} + \frac{\partial φ (x, y)}{\partial φ (x, y)} + \frac{\partial z}{\partial z}]

= \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot \frac{\partial φ}{\partial z} + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot 0 + \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot 0 + \frac{\partial ψ}{\partial z} \cdot 1

= \frac{\partial ψ}{\partial z}

\Rightarrow \vec{\nabla} ψ (r, φ, z) = [\begin{matrix} \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot cos (φ) - \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot sin (φ) \\ \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot sin (φ) + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot cos (φ) \\ \frac{\partial ψ}{\partial z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {(\vec{\nabla} ψ)}_{x} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{y} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{z} \end{matrix}]

Das ist genau die Gleichung

(34)

hier:
http//www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=532

Ich frage mich wieso dieser Vektor so ähnlich wie die Inverse Jacobi Determinante (Gleichung

(21))

aussieht? Die Geschichte mit der Jaacobi Determinante ist ein bisschen verwirrend.

Der Gradient erhält man in Zylinderkoordinaten wenn man diese Beziehungen kennt:

e_{r} = cos (φ) \cdot e_{x} + sin (φ) \cdot e_{y}

e_{φ} = - sin (φ) \cdot e_{x} + cos (φ) \cdot e_{y}

e_{z} = e_{z}

[\begin{matrix} e_{r} \\ e_{φ} \\ e_{z} \end{matrix}] = (\begin{matrix} cos (φ) & sin (φ) & 0 \\ - sin (φ) & cos (φ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot [\begin{matrix} e_{x} \\ e_{y} \\ e_{z} \end{matrix}] \Leftrightarrow [\begin{matrix} e_{x} \\ e_{y} \\ e_{z} \end{matrix}] = (\begin{matrix} cos (φ) & - sin (φ) & 0 \\ sin (φ) & cos (φ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot [\begin{matrix} e_{r} \\ e_{φ} \\ e_{z} \end{matrix}]

Was für die Basisvektoren gilt, gilt auch für andere Vektoren, deshalb:

[\begin{matrix} {(\vec{\nabla} ψ)}_{r} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{φ} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{z} \end{matrix}] = A \cdot [\begin{matrix} {(\vec{\nabla} ψ)}_{x} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{y} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{z} \end{matrix}]

[\begin{matrix} {(\vec{\nabla} ψ)}_{r} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{φ} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{z} \end{matrix}] = (\begin{matrix} cos (φ) & sin (φ) & 0 \\ - sin (φ) & cos (φ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot [\begin{matrix} \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot cos (φ) - \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot sin (φ) \\ \frac{\partial ψ}{\partial r} \cdot sin (φ) + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \cdot cos (φ) \\ \frac{\partial ψ}{\partial z} \end{matrix}]

[\begin{matrix} {(\vec{\nabla} ψ)}_{r} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{φ} \\ {(\vec{\nabla} ψ)}_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial ψ}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial ψ}{\partial φ} \\ \frac{\partial ψ}{\partial z} \end{matrix}]

Bin zum Ziel gekommen, aber habe noch ein Paar offene Fragen, die ich unterwegs gestellt habe :-D)

. .

. Es wäre nett von dir, wenn du mir damit helfen würdest.

lg,

Ahmed

PS: Deine kompakte physikalische Schreibweise habe ich "einigermaßen" verstanden. Wenn du es aber noch mal ein bisschen ausführlicher schreibst, dann werde ich es mehr verstehen. Du hast nämlich eine Endformel für die einzelnen Komponenten des Gradienten aufgestellt. Ich würde gern diese unter die Lupe nehmen und genau wissen, wie man darauf kommt. Wenn du es mir ein bisschen ausführlicher erklärst, verspreche ich es dir, daß ich es verstehen werde!! :-D) Ich wünsche ich hätte Physik studiert, dann hätte ich mich ein bisschen mehr mit der "kompakten" Schreibweise ausgekannt. Das habe ich aber nicht, wie du schon siehst! :-D)

OmegaPirat

21:48 Uhr, 06.02.2010

Deine Begründung für die verallgemeinerte Kettenregel ist falsch, man darf mit Differentialen nicht so umgehen wie mit Variablen.
es ist eben nicht df/df+dg/dg=1
wenn schon dann wäre dies 2. Aber das ist ein schönes beispiel an dem man sieht, dass man mit infinitesimalen nicht wie mit variablen umgehen darf.

Der Ausgangspunkt ist eben die regel so wie ich sie geschrieben habe.
ich kenne zwei Möglichkeiten diese herzuleiten.
Eine davon ist mehr so die physikermethode und mathematisch nicht ganz sauber.
Die mathematisch saubere methode benutzt den satz, dass sich jede differenzierbare funktion

f (g (x), h (x))

(man kann selbstverständlich beliebig viele funktionen im argument nehmen.) wie folgt darstellen lässt

f (g (x), h (x)) = f (g (x_{0}), h (x_{0})) + \frac{d f (g (x_{0}), h (x_{0}))}{d g} \cdot (g (x)

–

g (x_{0})) + \frac{d f (g (x_{0}), h (x_{0}))}{d h} \cdot (h (x)

–

h (x_{0})) + k (x) \cdot (x - x_{0})

Dabei gilt

k (x_{0}) = 0

Damit lässt sich dies beweisen. Es gibt sogar eine noch allgemeinere Form der Kettenregel, welche mit Jacobimatrizen dargestellt wird.
Damit lässt sich dies beweisen. Es gibt sogar eine noch allgemeinere Form der Kettenregel, welche mit Jacobimatrizen dargestellt wird.
Ansonsten ist dein weg sowie ich das überblicke korrekt, man muss halt sowohl die komponenten als auch die einheitsvektoren transformieren. Ich habe halt gleich mit wenig rechenaufwand eine ganz allgemeine transformationsformel hergeleitet, dabei habe ich die verallgemeinerte kettenregel einfach rückwärts angewandt.
Was studierst du denn?

ahmedhos aktiv_icon

18:00 Uhr, 07.02.2010

Hallo OmegaPirat,

"Ich habe halt gleich mit wenig rechenaufwand eine ganz allgemeine transformationsformel hergeleitet, dabei habe ich die verallgemeinerte kettenregel einfach rückwärts angewandt.
Was studierst du denn?"

Ja, ich würde auch sehr gern wissen, wie du auf die letzte Zeile in deinem 1.Beitrag gekommen bist. Das interessiert mich nämlich sehr, da es nämlich viel Zeit spart so wie du es hergeleitet hast.

Ich studiere Bauingenieurwesen und bin noch im 3.Semster.

lg,

Ahmed

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