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Gradient und Hessematrix bestimmen

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Tags: Gradient, Hesse-Matrix

borsteline

18:06 Uhr, 21.06.2010

Hallo, kann mir jemand kurz mal in einfachen schritten wie man den gradienten und die hessematrix bestimmt? im interent find ich leider auch keine anleitung die für mich verstöndlich ist.
ich danke schon mal für eure hilfe, da ich davon noch nie etwas gehört habe:(

liebe grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

14:51 Uhr, 22.06.2010

Hossa :-)

Nehmen wir an, eine Funktion f hängt von mehreren Variablen ab, diese seien x, y und z. Wir nehmen direkt ein Beispiel dazu:

f (x, y, z) = x^{2} + y \cdot z

Um den Gradienten davon zu bilden, leitest du die Funktin von jeder Variablen einzeln ab und tust dabei so, als wären die beiden anderen Variablen konstant. Dies nennt man die partielle Ableitung. Für die drei Variablen ergibt sich:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x

\frac{\partial f}{\partial y} = z

\frac{\partial f}{\partial z} = y

Die 3 Ergebnisse schreibst du nun als Vektor, und das ist der Gradient:

grad f (x, y, z) = (\begin{array}{rcl} 2 x \\ z \\ y \end{array})

Um die Hesse-Matrix zu erhalten, leitest du nun den Gradienten partiell nach x, y und z ab. Dazu muss jede Komponente des Gradientenvektors für sich alleine abgeleitet werden:

\frac{\partial}{\partial x} (\begin{array}{rcl} 2 x \\ z \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})

\frac{\partial}{\partial y} (\begin{array}{rcl} 2 x \\ z \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

\frac{\partial}{\partial z} (\begin{array}{rcl} 2 x \\ z \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Die so berechneten Vektoren sind die Zeilen der Hesse-Matrix:

H = (\begin{array}{rcl} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

Viele Grüße

DerDepp

borsteline

21:47 Uhr, 22.06.2010

Hallo
ich hab dann mal meine Aufgabe berechnet, und wollte mal fragen ob ich damit richtig liege bwz. wo mein fehler liegt
Die Aufgabe lautet:

f (x, y) = 2 e^{x} \cdot y - y^{3}

Hier meine Lösungsansätze:

nach

x

abgeleitet:

2 e^{x}

nach

y

abgeleitet:

1 - 3 x^{2}

dann der Gradient:

(\begin{matrix} 2 e^{x} \\ 1 - 3 x^{2} \end{matrix})

und dann die Hessematrix:

(\begin{matrix} 2 e^{x},0 \\ 0 - 6 x \end{matrix})

hoff ich liege nicht allzu doll daneben

: (

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