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Gradient von Skalarfeld mit einer Variable

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: divergenz, Eindimensional, Feld, Gradient, Partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis

MerelyClueless aktiv_icon

13:03 Uhr, 03.11.2015

Hallo liebe Community,

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, an der ich leider sehr hänge. Generell dachte ich, das Konzept von partiellen Ableitungen sowie Divergenz, Gradient und Rotation verstanden zu haben. Dem scheint aber offensichtlich nicht so zu sein.

Folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Gegeben sei ein skalares Feld

f (r) = c o s (p * r)

mit dem konstanten Vektor p.
(1) Berechnen sie F =

▽ f

und daraus durch explizite Rechnung
(2)

▽ * F

(3)

▽ x F

(Kreuzprodukt)
(4) Erklären sie, warum das Ergebnis von (3) zu erwarten war
(5) Zeigen sie außerdem, dass f(r) die Gleichung

δ f + p ² f = 0

erfüllt.

Was ich mir gedacht habe:

zu (1):
Hier ist gefragt, dass ich den Gradienten berechne. Ich weiß, dass für f(x,y,z) der Nabla-Operator wie folgt aussieht:

▽ = (\begin{array}{rcl} \frac{δ}{δ x} \\ \frac{δ}{δ y} \\ \frac{δ}{δ z} \end{array})

Ich weiß auch, dass man ihn ja nach Dimension anpassen kann. Ich war jetzt allerdings verwirrt, denn f(r) ist ja anscheinend nur von einer Variable abhängig und somit wäre der Nabla-Operator

▽ = (\begin{array}{rcl} \frac{δ}{δ r} \end{array})

und entspricht somit der "normalen" Ableitung von f(r).

Diese kann man mit Hilfe der Kettenregel bestimmen:

f ʹ (r) = - p * s i n (p * r)

Als Ergebnis des Gradienten soll man einen Vektor erhalten. Da jetzt ein Vektor mit dem Sinus-Teil der Funktion multipliziert wird, erhalte ich auch eben diesen, da man f'(r) ja auch so umschreiben kann:

(\begin{array}{rcl} - p_{x} * s i n (p * r) \\ - p_{y} * s i n (p * r) \\ - p_{z} * s i n (p * r) \end{array})

Damit wäre das erfüllt, dennoch habe ich das Gefühl, einen Denkfehler gemacht zu haben ... und bei (2) wird das auch deutlich.

zu (2):
Ich bin mir nicht sicher, wie ich explizit rechnen soll ... das ist wohl Problem Nummer 1.
Auf jeden Fall bedeutet

▽ * F

, dass ich die Divergenz des Gradientenvektors ausrechnen soll. Hier habe ich aber das Problem, dass ich zwar weiß, wie ich die Divergenz generell bestimme, jetzt aber wieder das Problem habe, dass F nur von r abzuhängen scheint (da p ein konstanter Vektor ist) und ich ja dementsprechend F "einfach nur" nach r ableiten müsste. Ich glaube, ich verstehe bei der Aufgabe was falsch. Ich habe zwar dann die Funktion f abgeleitet und erhalte somit ein Skalar, kann mir aber beim besten Willen nicht vorstellen, dass

- p ² * c o s (p * r)

stimmt (erneut errechnet mit der Kettenregel)

zu (3):
Hier ist nach der Rotation gefragt. Da ich aber an meiner Denkweise bei (1) und (2) zweifle, bin ich hierzu noch nicht gekommen.

zu (4):
Generell gilt: Ein zweidimensionales Feld ist wirbelfrei, die Rotation ist also = 0. Ich denke, für eindimensionale Felder müsste das gleiche gelten (gibt es eindimensionale Felder?)

zu (5):
Hierzu bin ich ebenfalls noch nicht gekommen.

Es wäre toll, wenn mir jemand mit der (1) und der (2) helfen könnte, da ich schlichtweg nicht weiß, wo genau mein Problem liegt. Für jegliche Hilfe wäre ich wirklich dankbar.

MfG
Indira

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

17:06 Uhr, 03.11.2015

Aloha :-)

In der Physik kommen häufig Radialkräfte vor, die nicht von

\vec{r}

, sondern nur vom Betrag

r = ∣ \vec{r} ∣

abhängen. In deinem Fall ist:

f (r) = \cos (p r)

bzw.

f (x, y, z) = \cos (p \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

Damit kannst du eigentlich die ganze Aufgabe durchrechnen.

Du kannst aber auch tricksen. Hier am Beispiel des Gradienten vorgemacht:

\nabla f (r) = \frac{\partial f (r)}{\partial \vec{r}} = \frac{\partial f (r)}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial \vec{r}} = f^{'} (r) \cdot \frac{\partial}{\partial \vec{r}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = f^{'} (r) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (\begin{array}{c} 2 x \\ 2 y \\ 2 z \end{array}) = f^{'} (r) \cdot {\vec{r}}^{0}

\Rightarrow \nabla f (r) = - \sin (p r) \cdot p \cdot {\vec{r}}^{0}

Die anderen Berechnungen funktionieren analog :-)

MerelyClueless aktiv_icon

21:05 Uhr, 03.11.2015

Hey, danke für deine Antwort :-)

Dass

r = \sqrt{x ² + y ² + z ²}

ist, hatten wir in anderen Aufgaben auch schon. Allerdings war das bisher immer in den Aufgaben gegeben, weshalb ich mir nicht sicher war/bin, ob ich tatsächlich davon ausgehen kann, dass das der Fall ist :/

Sollte ich denn bei r immer davon ausgehen, dass es sich um Radialkräfte handeln, die sich so umformen lassen? In anderen Beispielen, die ich in meiner Lektüre hatte, war r immer als ein Vektor gegeben. In meiner Aufgabe war das ja nicht der Fall.
In anderen Aufgaben stand r ja auch für den Ortsvektor oder den Radius (oder beides).
Zudem, vielleicht eine ganz dumme Frage, aber woher weiß ich, dass p ein dreidimensionaler Vektor ist? Könnte p theoretisch nicht auch zweidimensional sein?

EDIT: r war als Vektor gegeben. Ich habe an die falsche Notation der Vektoren gedacht. Also hast du sicherlich Recht. Vielen vielen Dank :-)

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