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Gram Schmidt Orthogonalisierungsverfahren

Universität / Fachhochschule

Tags: Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren

anonymous

15:07 Uhr, 17.09.2014

Hallo liebe Mathematiker,

ich habe da eine Frage zum Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wenn ich mit komplexen Zahlen rechne, wann ich da komplex kunjugieren muss.

Als Beispiel:

(\begin{matrix} 1 & i & 0 & 0 \\ i & 1 & 1 & 0 \\ - i & 0 & i & i \\ 0 & i & - i & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 3 i \end{matrix})

Ich benutze die normale Formel für Gram-Schmidt:

w 1 = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ i \\ - i \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{\sqrt{2}}

(Stimmt die Länge? Habe bei

i

nicht mit

^2

gerechnet sondern immer mit

- i

erweitert..)

w 2 = (\begin{matrix} i \\ 1 \\ 0 \\ i \\ 0 \end{matrix}) - \frac{(\begin{matrix} i \\ 1 \\ 0 \\ i \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \\ - i \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 1 \\ i \\ - i \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \\ - i \\ 0 \\ 1 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \\ - i \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Wo muss ich da jetzt darauf achten, dass ich komplex kunjugiere?
Bzw. muss man das nicht immer?

LG UND VIELEN DANK :-)

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10:37 Uhr, 19.09.2014

"Stimmt die Länge?"

Nein. Die Länge des Vektors

(1, i, - i, 0, 0)

ist

\sqrt{3}

.
Allgemein:

∣ (a_{1}, . . . a_{n}) ∣ = \sqrt{∣ a_{1} ∣^{2} + . . . + ∣ a_{n} ∣^{2}}

, wobei

∣ a_{i} ∣

der komplexe Betrag ist, also

∣ i ∣ = ∣ - i ∣ = 1

usw.

anonymous

11:36 Uhr, 19.09.2014

Danke.

Bei dem Vektor, von dem du die Länge berechnet hast, fehlt die letzte Zahl. Du hast die 1 ganz unten vergessen.
Stimmt die Länge mit der letzten Zahl doch?

Liebe Grüße

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11:40 Uhr, 19.09.2014

Nein, wenn man noch

1

berücksichtigt, kommt

2

raus und nicht

\sqrt{2}

. Nutze einfach die Formel.

anonymous

11:49 Uhr, 19.09.2014

Danke. Versteh ich die Formel richtig, dass ich bei

i

einfach immer 1 hernehme?

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12:00 Uhr, 19.09.2014

Betrag von

i

ist 1, deshalb ja. Aber wenn da z.B.

3 + 4 i

stehen würde, dann wäre

∣ 3 + 4 i ∣ = 5

. (Siehe hier unter "Betrag": de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

anonymous

12:28 Uhr, 19.09.2014

Super vielen Dank! :-)

anonymous

12:38 Uhr, 19.09.2014

Weißt du vl auch die Antwort auf meine zweite Frage? :-)
Bezüglich dem komplex konjugieren..

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

13:05 Uhr, 19.09.2014

In Deinen Formeln stehen Skalarprodukte, Du musst nur berücksichtigen, wie im komplexen Fall Skalarprodukte definiert sind:

(a_{1}, . . ., a_{n}) \cdot (b_{1}, . . ., b_{n}) = \bar{a_{1}} \cdot b_{1} + . . . + \bar{a_{n}} \cdot b_{n}

(vergleiche de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Standardskalarprodukt_im_Rn_und_im_Cn

anonymous

09:52 Uhr, 20.09.2014

Danke, alles klar :-)

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