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Gravitationskraft einer Kugelschale

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Sonstiges

Tags: Sonstig

mathelover90

16:06 Uhr, 19.05.2016

Hallo,

Man solle eine Kugelschale mit konstanter Massendichte

ρ

, innerem Radius

a > 0

und äußerem Radius

b > a

betrachten. Es befindet sich ein Massenpunkt der Masse m im Abstand R vom Mittelpunkt der Kugelschale.
Ich soll die Gravitationskraft auf den Massen Mittelpunkt für

(a)

R > b

(b)

R \in (a, b)

(c)

R < a

berechnen.

Ich versuche gerade mit dem Newtonschen Gravitationgesetz rumzuknobeln aber komme auf keinen richtigen Weg zur Lösung der Aufgabe.
Könnte mir jemand dabei helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.05.2016

HALLO
jeder Punkt der Kugelschale mit der Masse dm übt die Gravitationskraft \gamma*(m*dm)/r^2aus. du musst über alle Punkte der Kugelschale integrieren, um di Gesamtkraft zu bestimmen.
oder ein Argument benutzen, das ergibt, dass sich im Inneren alle Kräfte zu 0 addieren, im Äusseren alle so. als ob die Gesamt Masse im Mittelpunkt wäre.
Gruß ledum

mathelover90

17:38 Uhr, 19.05.2016

Hallo ledum :-),

wäre bei der integration das kugelkoordinatensystem sinnvoll, über das ich dann integrieren soll ?

Viele Grüße

DerDepp aktiv_icon

19:09 Uhr, 19.05.2016

Hossa :-)

Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in den Mittelpunkt der Kugel. Die Kugel ist innen hohl, hat aber im Abstand von

a

bis

b

vom Urpsrung eine homogene Dichteverteilung

ρ

. Im Abstand

R

vom Urpsrung befindet sich eine Probemasse

m

. Gesucht ist die Gravitationskraft der Kugel auf die Masse

m

.

Wegen der Symmetrie des Problems können wir ohne Einschränkung die Probemasse

m

auf die z-Achse legen. Sie befindet sich dann am Ort

\vec{R} = (0, 0, R)

. Ein infinitesimales Volumen

d V

am Ort

\vec{r}

innerhalb der Kugelschale

(a \leq r \leq b)

hat die Masse

ρ (r) d V

(Wegen der Homogenität hängt die Dichte nicht von der Richtung, sondern nur vom Betrag von

\vec{r}

ab). Nach Newtons Gravitationsgesetz trägt dieses Volumen

d V

zur Kraft auf die Probemasse

m

einen Anteil

d \vec{F}

bei:

d \vec{F} = - G \frac{m \cdot ρ (r) d V}{{∣ \vec{R} - \vec{r} ∣}^{3}} (\vec{R} - \vec{r}) \Rightarrow \vec{F} = - m G \cdot \int_{V} \frac{ρ (r)}{{∣ \vec{R} - \vec{r} ∣}^{3}} (\vec{R} - \vec{r}) d V

Mit Hilfe des Gradienten

\frac{\partial}{\partial \vec{R}}

kann die rechte Seite, wegen

\frac{\partial}{\partial \vec{R}} (\frac{1}{∣ \vec{R} - \vec{r} ∣}) = \frac{\partial}{\partial \vec{R}} ({({\vec{R}}^{2} - 2 \vec{R} \vec{r} + {\vec{r}}^{2})}^{- 1 / 2}) = - \frac{1}{2} {({\vec{R}}^{2} - 2 \vec{R} \vec{r} + {\vec{r}}^{2})}^{- 3 / 2} \cdot (2 \vec{R} - 2 \vec{r}) = - \frac{\vec{R} - \vec{r}}{{∣ \vec{R} - \vec{r} ∣}^{3}}

deutlich einfacher geschrieben werden:

\vec{F} = \frac{\partial}{\partial \vec{R}} (m G \cdot \int_{V} \frac{ρ (r)}{∣ \vec{R} - \vec{r} ∣} d V)

Der Vektor

\vec{r}

fährt bei dieser Rechnung die Kugelschale ab und lautet in Kugelkoordinaten:

\vec{r} = (\begin{array}{c} r \sin Θ \cos ϕ \\ r \sin Θ \sin ϕ \\ r \cos Θ \end{array}); r \in [a; b]; Θ \in [0; π [; ϕ \in [0; 2 π [

Das Volumenelement lautet in Kugelkoordinaten

d V = r^{2} \sin Θ d r d Θ d ϕ

, der Differenzvektor ist

\vec{R} - \vec{r} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ R \end{array}) - (\begin{array}{c} r \sin Θ \cos ϕ \\ r \sin Θ \sin ϕ \\ r \cos Θ \end{array}) = (\begin{array}{c} - r \sin Θ \cos ϕ \\ - r \sin Θ \sin ϕ \\ R - r \cos Θ \end{array})

und sein Betrag vereinfacht sich zu:

∣ \vec{R} - \vec{r} ∣ = \sqrt{\underset{= r^{2} \sin^{2} Θ}{\underset{⎵}{r^{2} \sin^{2} Θ \cos^{2} ϕ + r^{2} \sin^{2} Θ \sin^{2} ϕ}} + R^{2} - 2 R r \cos Θ + r^{2} \cos^{2} Θ} = \sqrt{R^{2} - 2 R r \cos Θ + r^{2}}

Alles zusammengebaut lautet die gesuchte Gesamtkraft:

\vec{F} = \frac{\partial}{\partial \vec{R}} (m G \int_{a}^{b} d r \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d Θ \frac{ρ \cdot r^{2} \sin Θ}{\sqrt{R^{2} - 2 R r \cos Θ + r^{2}}})

Das musst du nur noch ausrechnen. Die Integration über

d Θ

solltest du zuerst angehen. Dabei bietet sich die Substitution

u (Θ) = \sqrt{R^{2} - 2 R r \cos Θ + r^{2}}

an, weil du dann insbesondere als untere Integrationsgrenze

u (0) = ∣ R - r ∣

erhälst. Darauf kannst du dann am Ende die Fallunterscheidung aufbauen, ob die Probemasse

m

innerhalb der Hohlkugel, im Volumen

V

oder außerhalb der Hohlkugel liegt...

mathelover90

20:17 Uhr, 19.05.2016

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :-)
Hat mir sehr geholfen

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