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Grenzwert, Bernouillsche Ungleichung

Schüler Gymnasium,

Tags: Folgen, Grenzwert beweisen, Konvergenz

anonymous

21:33 Uhr, 27.11.2017

Guten Abend,

ich schicke euch mal eine Aufgabe im Anhang - es geht um Aufgabe 1c).

Ich habe schon ein bisschen gerechnet, weiß aber leider nicht,
wie ich die zu behauptende Aussage beweisen kann.
Über Antworten würde ich mich natürlich sehr freuen!

zu zeigen:

lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n^{2} + 1} = 0

Meine Rechnung:

{(\frac{n}{n + 1})}^{n^{2} + 1} = {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n^{2} + 1}

So, hierauf den ,,Limes anzuwenden", bringt glaube ich nicht so viel.

Also weiter vereinfachen:

{(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n^{2} + 1} = {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{n + 1})

lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n^{2} + 1} = lim_{n \to \infty} ({(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n^{2}} \cdot (\frac{n}{n + 1}))

Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? Vor allem: Wann brauche ich die Bernoulli'sche Ungleichung!?

Hinweis: Dass die Folge

(x_{n})_{n \in ℝ} := \frac{n}{n + 1}

konvergiert, haben wir in der Vorlesung nicht gezeigt.

Seid gegrüßt
Imahn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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21:57 Uhr, 27.11.2017

"Hinweis: Dass die Folge (xn)n∈ℝ:=nn+1 konvergiert, haben wir in der Vorlesung nicht gezeigt"

Das ist elementar zu zeigen, würde nur wenig bringen.
Was man hier braucht ist

(1 - \frac{1}{n})^{n} \to \frac{1}{e}

. Dann wäre es einfach.

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22:09 Uhr, 27.11.2017

Obwohl, mit Bernoulli geht es tatsächlich.

(1 + x)^{m} \geq 1 + x m

, mit

x = \frac{1}{n}

und

m = n^{2} + 1

haben also

(\frac{n + 1}{n})^{n^{2} + 1} = (1 + \frac{1}{n})^{n^{2} + 1} \geq 1 + \frac{n^{2} + 1}{n} > n

, damit

(\frac{n}{n + 1})^{n^{2} + 1} < \frac{1}{n}

und das bedeutet Konvergenz gegen

0

anonymous

21:48 Uhr, 28.11.2017

Hallo Dr Boogie,

ich war heute fast den ganzen Tag unterwegs, weshalb ich dir erst jetzt antworten kann.

Die Aufgabe sende ich im Anhang, ich hatte es beim letzten Mal vergessen (wir sind bei c).

Ich befürchte, dass du etwas verwechselt hast: Wir betrachten den Grenzwert der Folge

(\frac{n}{n + 1})^{n^{2} + 1}

, nicht den Grenzwert der Folge

(\frac{n + 1}{n})^{n^{2} + 1}

.

Was ich aber auf jeden Fall weiß, ist, dass die Umformung von

(\frac{n}{n + 1})^{n^{2} + 1}

(1 - \frac{1}{n + 1})^{n^{2} + 1}

nichts bringt. Ergo muss es einen anderen Trick geben.

Außerdem bezweifle ich, dass mich das ,,Aufsplitten" des Exponenten

n^{2} + 1

lohnt.

Nun frage ich mich aber: Wie kann ich weitermachen? Also anscheinend muss
die Bernouill'sche Ungleichung ja angewendet werden können ...

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22:54 Uhr, 28.11.2017

"Ich befürchte, dass du etwas verwechselt hast"

Ich habe nichts verwechselt. Also empfehle ich, dass Du zuerst aufmerksam liest, was ich geschrieben habe, und dann versuchst es zu verstehen.

DrBoogie aktiv_icon

22:56 Uhr, 28.11.2017

"Also anscheinend muss die Bernouill'sche Ungleichung ja angewendet werden können ... "

Ja, und genau das habe ich auch gemacht.

anonymous

07:13 Uhr, 29.11.2017

Du hast natürlich vollkommen Recht, es macht Sinn! :-)

Danke, ich habe den Beweis verstanden.

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