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Grundlagen Tilgungsrechnung
Universität / Fachhochschule
Finanzmathematik
Tags: Finanzmathematik, Tilgungsrechnung
 
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Hallo zusammen, ich erstelle mir gerade einen Finanzierungsrechner per Excel (ich weiss, ich erfinde das Rad neu, aber es soll auch zum Verständnis beitragen). Dieser Rechner soll - und da unterscheidet er sich dann doch von vielen Rechnern / Anleitungen im Netz - so die gängigsten Tilgungsarten mit allen Varianten beinhalten. Ich habe einmal eine grobe Gruppierung zusammengestellt: Erste Differenzierung: Tilgungsart Ratentilgung vs. Annuitätentilgung Zweite Differenzierung: Subtyp der Tilgungsart Volltilgung vs. feste Tilgungsrate / Annuität bei fester Annuität nochmals Differenzierung in Festbetrag vs. Prozentenannuität Dritte Differenzierung: Jährige vs. unterjährige Tilgung (Periodizität) Vierte Differenzierung: Jährige vs. unterjährige Verzinsung Fünfte Differenzierung: Vorschüssige vs. Nachschüssige Fälligkeit Ich versuche gerne, mir die Formeln und den Tilgungsplan selbst zu erarbeiten, bevor ich mich an ein Forum wende. Aber da es bei diesem Thema offenbar sehr viele verschiedene Parameter gibt, die man für solch einen Rechner berücksichtigen muss, hätte ich gerne für das Grundverständnis ein paar Dinge klargestellt, die sich mir bei der Google-Recherche leider nicht konvulsiv ergeben haben. Frage 1: Ist die obige Differenzierung einigermassen vollständig oder gibt es weitere wichtige Unterscheidungen bei der Wahl des Tilgungsverfahrens? Frage 2: Wenn von einem Zinssatz die Rede ist, dann betrifft das offenbar den Jahreszinssatz. Ebenso werden Laufzeiten normalerweise jährig angegeben. Hierzu habe ich zwei Fragen: Frage Wie wird mit einem Jahreszinssatz bzw. allgemein mit jährlicher oder beispielsweise quartalsweiser Tilgung umgegangen, wenn eine Kreditlaufzeit ungerade ist, also quasi 5 Jahre und 5 Monate? Wie wird mit den restlichen Monaten verfahren, wenn nicht zufälligerweise eine monatliche Periodizität gewählt wurde und somit die Rechnung nicht aufgeht? Frage Wenn die Periodizität nicht 1 (jährig), sondern eben oder ist (ergo unterjährig), dann bezieht sich das in erster Linie auf die Tilgung, wenn ich das richtig verstanden habe. Es geht darum, ob eben jährig oder unterjährig bezahlt werden kann. Das muss nicht unbedingt heissen, dass auch die Verzinsung in diese Perioden fällt, korrekt? Sehe ich es dann richtig, dass es 3 Möglichkeiten für die Zins-Periodizität gibt? jährig, unterjährig konform unterjährig relativ Mit Option würde unterjährig getilgt, aber nur einmal pro Jahr werden Zinsen abgebucht Mit Option würde für jede Tilgung auch eine Zinsabbuchung erfolgen, jedoch entstehen keine Zinseszinsen und es gilt: Jahreszins (nominal) = Jahreszins (effektiv) Mit Option würde für jede Tilgung auch eine Zinsabbuchung erfolgen, jedoch entstehen Zinseszinsen und es gilt: Jahreszins (nominal) Jahreszins (effektiv) Frage Wenn ich bei Frage mit meinen Gedankengängen richtig lag, würde es rein theoretisch auch möglich sein, eine gänzlich unabhängige unterjährige Verzinsung zu vereinbaren? Beispielsweise: Tilgungs-Periodizität quartalsweise, Zinsperiodizität tertialsweise? Gibt es so etwas? Das sind einfach ein paar grundsätzliche Themen, die ich mir leider selbstständig nicht zu beantworten kann, da jede Website bei der Google-Suche immer nur anteilig Aussagen macht und ich es nicht schaffe, mir aus allem ein schlüssiges Gesamtkonzept zu erarbeiten. Ich möchte sichergehen, dass ich es grundsätzlich verstanden habe. Die Berechnungen schaffe ich dann selbst. Vielen Dank bereits vorab für eure Hilfestellungen. Liebe Grüsse Binary Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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de.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A4tendarlehen Bei unterjähriger Zahlweise gilt: mit Anzahl der Zahlungen pro Jahr bei relativer Verzinsung bzw. bei konformer Verzinsung vgl: de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Grundformeln Beim Tilgungsdarlehen ändern sich die Annuitäten nach jeder Zahlung, weil der Zinsanteil sinkt infolge der konstanten Tilgungsrate. Ohne Zusatzangabe bedeutet . den Nominalzins Der Quartalszins ist dann Ist der Effektivzins beträgt der Quartalszins . % Die Zinsanteile in der Rate sinken mit jeder Zahlung. Option Sparkassenmethode Hier rechnet man mit der Jahres-Ersatzrate OPtion In der Annuität ist der abnehmende Zinsanteil bereits berücksichtigt. . Vereinbaren kann man alles, wenn der Vertragspartner mitmacht. Am besten du stellst konkrete Aufgaben ein. Damit kann man alles am besten veranschaulichen. Je mehr Aspekte ins Spiel kommen, umso komplexer werden die Formeln. Im Netz gibt es diesen Rechner mit Zahlungstabellen: www.zinsen-berechnen.de |
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Hi, erst einmal vielen Dank für Deine schnelle Rückmeldung. Also, konkretes Beispiel: Darlehensbetrag Agio Restschuld zu Beginn Tilgungsart: Ratentilgung Tilgungsrate . Zinssatz . Laufzeit ab: Laufzeit: 5 Jahre Fall 1: Sämtliche konkrete Zahlungen jährlich (T-Per Z-Per Erste Zahlungsfälligkeit: Rate bei Fälligkeit: Geldfluss total: Fall 2: Tilgung halbjährig, Zinsen jährig (T-Per Z-Per Erste Zahlung: Rate bei Fälligkeit: 1/T-Per Zweite Zahlung: Rate bei Fälligkeit: 1/T-Per Geldfluss total: Fall 3: Tilgung halbjährig, Zinsen halbjährig, Jahres-Zinssatz ist nominal (T-Per Z-Per Erste Zahlung: Rate bei Fälligkeit: 1/T-Per (0,06/Z-Per)*S0 Zweite Zahlung: Rate bei Fälligkeit: 1/T-Per (0,06/Z-Per)*??? Wenn bis hierhin alles stimmt, mit was wird nun der unterjährige Zinssatz in der zweiten Periode multipliziert? Wieder mit oder mit was nun? |
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Fall1: Die Tilgungsrate ist konstant Restschuld nach 5 Jahren: Die Zinsen sinken jedes Jahr um 1.Rate: 2.Rate: usw. Gesamtsumme: 5/2*(2*600-4*69)ist die Summe einer arithmet. Reihe de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe Als Formel: Gesamtaufwand: nach Jahren: Tilgungsrate, jährliche Zinsdifferenz Fall2: Hier verringern sich die Zinsen nach jedem halben Jahr anteilig. Zinsen: . Die Zisndifferenz beträgt . Summe der Zinsen nach 5 Jahren: |
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Hi, also ich vermute, dass Dein Fall 2 sich auf meinen Fall 3 bezog. Das bedeutet, dass bei unterjähriger Verzinsung stets die bei dieser Periode aktuelle Restschuld als Faktor genutzt wird. Wenn nun die Bank nicht mit dem Nominal-Jahreszins, sondern mit dem effektiven Jahreszins wirbt, dann ist die Berechnung die gleiche nur dass der konforme Zinssatz genutzt wird, richtig? Kann man somit schlussfolgern, dass eine unterjährige Verzinsung mit relativem Periodenzinssatz für einen Kreditnehmer attraktiver ist, da der Jahreszins geringer ist als bei der jährigen Verzinsung? Im Umkehrschluss ist eine konforme unterjährige Verzinsung letztendlich dasselbe wie eine jährige Verzinsung, nur dass der konkrete Geldfluss gestaffelt auftritt und somit für den Kunden besser planbar ist? Oder wieso sollte man sonst unterjährige Verzinsung bei effektivem Jahreszins anbieten? |
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"also ich vermute, dass Dein Fall 2 sich auf meinen Fall 3 bezog." Das stimmt. "Das bedeutet, dass bei unterjähriger Verzinsung stets die bei dieser Periode aktuelle Restschuld als Faktor genutzt wird." Ja,sobald die Restschuld getilgt wird, rechnet man mit der neuen weiter. Man zahlt Zinsen nur für die noch bestehende Schuld. "Kann man somit schlussfolgern, dass eine unterjährige Verzinsung mit relativem Periodenzinssatz für einen Kreditnehmer attraktiver ist, da der Jahreszins geringer ist als bei der jährigen Verzinsung?" Nein, weil der Effektivzins steigt. Wenn der Effektivzins ist, beträgt der Semesterzins Wenn es der Nominalzins ist, beträgt der Effektivzins: Die relative unterjährige Verzinsung ist für die Bank als Kreditgeber die bessere. (Zinseszinseffekt). Bei Geldanlagen ist die effektive Verzinsung für die Bank günstiger. . |
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Hi, ah der Zinseszins-Effekt. Ja das macht Sinn. Aber der taucht ja in Deinem Rechenbeispiel nicht auf: Deine Rechnung war ja: Zins 1. Halbjahr: Zins 2. Halbjahr Müsste in der zweiten Gleichung dann nicht irgendwie der erste Zins mitgerechnet werden? Btw: Warum entsteht denn da überhaupt ein Zinseszins-Effekt, wenn doch Zins einfach immer auf die Restschuld anfällt und bei der Ratentilgung der Zins die Tilgungsrate nicht beeinflusst? |
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Es geht um fixe Tilgungen, die die Schuld sofort verringern. Was zurückgezahlt ist, wird nicht mehr verzinst. Beim Annuitätendarlehen ändert sich der Tilgungsanteil mit jeder Zahlung. "Müsste in der zweiten Gleichung dann nicht irgendwie der erste Zins mitgerechnet werden?" Nur bei der Berechnung des Gesamtzinsaufwandes am Ende. Die fälligen Zinsen nehmen immer um denseben Betrag ab beim Tilgungsdarlehen. |
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Welche Gesamtrechnung kommt denn dann noch und wann vor allem? Jetzt gehen im 1. Halbjahr an Zinsen weg, im 2. Halbjahr (also am Jahresende) und dann beginnt doch schon die dritte Periode und das setzt sich fort. Wo kommen dann nochmal konkrete separate Geldflüsse durch Zinseszinsen? |
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"Wo kommen dann nochmal konkrete separate Geldflüsse durch Zinseszinsen?" Der spielt hier keine Rolle, nur für den, der das zurückbezahlte Geld gleich wieder anlegen kann, als den Darlehensgeber. "Wo kommen dann nochmal konkrete separate Geldflüsse durch Zinseszinsen?" 1.Geldfluss:500+300 2. 3. usw. Der Effekt entsteht, wenn man die Geldflüsse wieder anlegt. |
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Ok aber dann bedeutet es ja im Umkehrschluss, dass es für den Kreditnehmer letztendlich doch besser ist, wenn die Bank einen nominalen Jahreszins anbietet, oder? Denn dann ist die Summe der unterjährigen Zinsbeträge ja kleiner als ein Jahreszinssatz: Nominalzins jährige Verzinsung: Nominalzins halbjährige Verzinsung: Wohingegen beim Angebot eines effektiven Jahreszins von für den Kreditnehmer keine Rolle spielt, ob jährig oder halbjährig verzinst wird, es kommt immer in Summe heraus. Korrekt? |
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"Wohingegen beim Angebot eines effektiven Jahreszins von für den Kreditnehmer keine Rolle spielt, ob jährig oder halbjährig verzinst wird, es kommt immer in Summe heraus." Wenn die Zinsen unterjährig bezahlt werden, kann er das Geld dafür nicht anderweitig anlegen. Er hat vlt. Opportunitätskosten (entgangene Anlagezinsen, wenn das Zinsniveau gestiegen ist, was . der Fall ist. |
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Achso, jetzt verstehe ich es. Aber dann muss man ja im Tilgungsplan eigentlich zwei Zinsspalten anlegen, denn ein Zinsbetrag entspricht dem konkreten Geldfluss während der um den Zinseszins korrigierte Zinsbetrag rein hypothetisch ist und anzeigt, wie viel man an "Wert" bezahlt, wenn man das Geld nicht für selbigen Zinssatz anderweitig anlegen würde. Habe ich es jetzt verstanden? Wie stelle ich dann den Tilgungsplan auf? In der Spalte "Konkreter Geldfluss Zins" wird somit immer mit dem unterjährigen Zins gerechnet, egal ob nominaler oder effektiver Jahreszins? Und in der Spalte "Hypothetischer Geldfluss Zins" korrigiere ich dann die Zinssätze je nachdem, ob nominaler Jahreszins oder effektiver Jahreszins vorliegt? |
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Jahr Schuldenstand Vorjahr --Zahlungen--davon Zinsen / Gebühren --davonTilgung--Schuldenstand am Jahresende 1 2 3 4 5 Gesamt- summen www.zinsen-berechnen.de/tilgungsrechner.php |
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Hi, ja so kommt es bei mir auch heraus. Ergo werden die Opportunitätskosten im Tilgungsplan nicht berücksichtigt.. |
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Nein. Dazu müsste man Infos haben über die Anlagealternativen . aktueller Marktzins) |
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Ok, ich denke ich habe es soweit. Eine Sache macht mich noch stutzig: Wenn ich im Rechner wählen lasse bei den Jahreszins zwischen nominal und effektiv, dann sollte ja je nach Wahl der entsprechende Periodenzinssatz gewählt werden (nehmen wir Perioden an): Nominal Relativer Periodenzins: Effektiv Konformer Periodenzins: Somit unterscheiden sich die einzelnen Zinszahlungen nicht so stark. Wenn ich aber in Deinem verlinkten Zinsrechner (www.zinsen-berechnen.de) den Jahreszins von nominal auf effektiv umstelle, dann kommen ganz abstruse Zahlen inklusive Vorzeichenwechsel und es ergibt sich plötzlich ein Jahreszins von ugf. . Was soll das? |
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Wenn ich effektiv eingebe, erhalte ich: Jahr Schuldenstand Vorjahr Zahlungen davon Zinsen / Gebühren davon Tilgung Schuldenstand am Jahresende 1 2 3 4 Gesamt- summen Du kannst dir auch die Quartalszahlungen anzeigen lassen. Was genau hast du wo eingegeben? Der Rechner zeigt dir auch den sich ergebenden Nominalzins an, hier . Vermutlich hast du den vervierfacht, was du nicht machen darfst. |
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Also, ich habe das Problem gefunden: Wenn ich bei den Zins- und Tilgungsperioden sämtliche Kombinationen zwischen jährig und halbjährig versuche (ergo 4 Möglichkeiten), dann passt alles. Es ändert sich bei Umstellung von nominal auf effektiv kaum etwas. Sobald ich aber die Tilgungsperiodizität auf vierteljährig oder gar monatlich umstelle, dann kommen plötzlich diese abstrusen Resultate mit Vorzeichenwechsel und Jahreszinsen zwischen . Die Zinsperiodizität spielt hierbei keine Rolle.. Ist das ein Softwarefehler oder darf bei effektiver Verzinsung nur minimal halbjährig verbucht werden? Probiere es doch selbst mal aus. Im Anhang findest Du einen Screenshot meiner Grundeinstellungen für beide Modi. EDIT: Aha, gerade ist die Website abgestürzt und als ich es mit identischen Einstellungen noch einmal versucht habe, kamen anständige Werte raus. Ergo: Es handelt sich wohl um einen Softwarefehler!   |
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Eine Sache erschliesst sich mir aber noch immer nicht. Mit halbjähriger Verzinsung und halbjähriger Tilgung ergibt sich ein Perioden pro Jahr. Bei I=6% nominalem Jahreszins müssten sich nach meinen Excel-Berechnungen folgende Werte für die Periodenzinssätze ergeben: eff Daraus müsste ja der effektive Jahreszins wie folgt errechnet werden: I eff eff Das stimmt aber nicht mit dem Online-Tilgungsrechner überein, der mir einen effektiven Jahreszins von angibt. Wo ist mein Denkfehler? |
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Bei halbjähriger Verzinsung mit ist der effektive Jahreszins: |
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Ok, danke. Und diese Differenz zum nominalen Jahreszins sind die Zinsen, die mir bei der unterjährigen Verzinsung entgehen, wenn ich diese Zinsen nicht stattdessen innerhalb dieses Jahres anderweitig für angelegt hätte, dann habe ich das verstanden. Vielen Dank! |
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Wenn alles klar ist, setze den Haken. |
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Getan, Thema abgehakt. |
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Hallo nochmal, jetzt habe ich doch noch einmal eine Verständnisfrage zum Zusammenhang zwischen Zinshöhe und Anzahl Zins-/Tilgungsperioden: Die Höhe der einzelnen Zinsbeträge pro Zahlungsperiode ist ja abhängig vom Zeitpunkt der Tilgungsfälligkeiten. Bei jähriger Fälligkeit der Tilgung entspricht der Zinsbetrag zum Zeitpunkt Wenn die Fälligkeit der Tilgung weiterhin jährig bleibt, die Zinsen aber unterjährig, bspw. quartalsweise gezahlt werden, beziehen sie sich dann weiterhin auf ? Gilt dann für die einzelnen Zinsbeträge zum Zeitpunkt jeweils: ? Würde nun bspw. pro Jahr getilgt, dann errechnet sich der gesamte jährliche Zinsbetrag aus Wenn die Zinsen nun quartalsweise bezahlt werden, ergibt sich eine konkrete Zinszahlung je Quartal aus: Das würde bedeuten, dass sich die gesamte nominale Zinshöhe pro Jahr niemals ändert, egal wann die Zinsen fällig werden. Stimmt das? Somit hätte lediglich die Periodizität der Tilgung einen Einfluss auf die Zinshöhe, richtig? Wenn alle meine obigen Ausführungen zutreffen, wie errechne ich dann den konformen Periodenzins? Bezieht sich die Periodizität hier auf die Zins-Periodizität, die Tilgungs-Periodizität oder die Gesamtzahl aus beidem? Beispiel: Tilgung tertialsweise, Verzinsung vierteljährig: Z-Periodizität T-Periodizität Mischung aus beidem ohne Redundanzen: konform Was gilt hier für m? oder oder (Mischung) oder (also ? |
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" Gilt dann für die einzelnen Zinsbeträge zum Zeitpunkt jeweils: S0⋅i4?" Nein, mit jeder Zahlung sinkt der Zinsanteil und steigt die Tilgung. Schau dir hier ein Beispiel an, indem du die Monatstabelle anklickst. www.zinsen-berechnen.de/kreditrechner.php Sobald getilgt wird, nimmt die Restschuld ab und damit auch die Zinsen. |
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Bei unterjähriger Tilgung, ja. Aber wenn jährig getilgt wird, dann beziehen sich ja sämtliche Zinsen auf oder? Ich habe den Online-Rechner jetzt für folgende Konstellation verwendet: Zinssatz nominal . Tilgungsrate pro Periode: Tilgungs-Periodizität: halbjährig Zins-Periodizität: vierteljährig mi=4 Nach meinen Berechnungen ergibt sich: Rel. Periodenzins Eff. Jahreszins: Die Zins-Periodizität "mi" sollte doch keinen Einfluss auf die zwei Variablen haben, oder? Frage 1: Warum zeigt der Online-Rechner (zinsen-berechnen.de) bei dieser Konstellation einen eff. Jahreszins von an?? Frage 2: Warum ändert sich beim Online-Rechner der eff. Jahreszins, wenn ich nur die Zins-Periodizität abändere, obwohl die doch keinen Einfluss auf die zwei Variablen (rel. Periodenzins und eff. Jahreszins) haben sollte? |
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"Aber wenn jährig getilgt wird, dann beziehen sich ja sämtliche Zinsen auf oder?" Auf die jeweilige Restschuld, die sich jährlich ändert. Das gilt auch für Tilgungdarlehen, bei denen unterjährig getilgt wird. Welchen Rechner hast du verwendet? Was, wo eingegeben? Der Zinszinseseffekt hängt von der Periode ab. . führen zu: effektiv, bei halbjährlicher Zahlung bei monatlicher Zahlung |
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Ja dann sind wir uns ja einig, auf diese Werte komme ich auch. Ich nutze den Rechner den Du immer verlinkt hast (Zinsen-berechnen.de). Er gibt mir aber eben andere Werte, probiere es doch selbst mal aus. Vor allem ändert er den eff. Jahreszins, wenn ich die Zins-Periodizität ändere. Die hat aber doch gar kein Einfluss auf ihn, oder? |
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"Ich nutze den Rechner den Du immer verlinkt hast (Zinsen-berechnen.de)." Welchen genau von den dortigen meinst du? Dieser Rechner zeigt keinen Effektivzins an: www.zinsen-berechnen.de/tilgungsrechner.php "Vor allem ändert er den eff. Jahreszins, wenn ich die Zins-Periodizität ändere. Die hat aber doch gar kein Einfluss auf ihn, oder?" Wieso nicht? Ich habe dir vorhin doch die Erklärung dafür gegeben? Mit jeder Tilgung ändert sich der Zinsanteil und damit die Effektivverzinsung. |
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Also bei mir errechnet er den effektiven Jahreszins. Das Resultat steht zwischen dem (oben platziert) Einstellungsfenster und der Resultattabelle (unten platziert). "Wieso nicht? Ich habe dir vorhin doch die Erklärung dafür gegeben? Mit jeder Tilgung ändert sich der Zinsanteil und damit die Effektivverzinsung." Ich rede aber nicht von der Tilgungs-Periodizität, sondern von der Zinsperiodizität. Wenn die Anzahl an unterjährigen Tilgungen gleichbeleibt und ich nur die Anzahl an unterjährigen Zinszahlungen ändere, dann sollte das doch keinen Einfluss auf den effektiven Jahreszins haben? Die Formel nutzt doch nur die Tilgungs-Periodizität... |
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