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Grundlegendes über Zyklen in der lin. Algebra

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Determinanten

Tags: Determinanten, Gruppen, permutation, zyklus

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13:03 Uhr, 28.11.2015

Guten Tag! :-)

Erstmal ein paar Beispiele:
(1)

π = (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array})

Diese Permutation kann ich ja auch als Zyklus schreiben. Also:

π = (1, 2, 4, 3)

Also 1 geht auf die 2 und diese geht auf die 3 und diese auf die 4 und 4 wieder auf 1, also haben wir einen Zyklus.

(2)

π = (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array})

Hier wäre der Zyklus

π = (1, 3)

und die 2 geht auf sich selbst, aber das schreibt man nicht mehr dazu. Ok einen Zyklus mit 2 Elementen nennt man dann eigentlich "Transposition schon.

(3)

π = (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array})

Ist kein Zyklus, sondern es gibt da zwei Transpositionen. Also:

π = (1, 2) (2, 4)

Fragen dazu:
A: Warum nennt man bei Beispiel 3 das ein Produkt von disjunkten Zyklen? Ist ein disjunkter Zykel eine Transposition?
B: Kann ich also auch die Permutation in Bsp 1 als Produkt von disjunkter Zyklen schreben?

Ich hoffe ihr könnte da ein wenig Lichts in Dunkle bringen :-).

Liebe Grüße
Newcomers

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:13 Uhr, 28.11.2015

"A: Warum nennt man bei Beispiel 3 das ein Produkt von disjunkten Zyklen? Ist ein disjunkter Zykel eine Transposition?"

Ein Zykel an sich kann gar nicht disjunkt sein. Disjunkte Zykel bedeutet ungefähr dasselbe wie disjunkte Mengen, also das sie sich nicht "schneiden". Sauber formuliert heißt es dann "Zyklische Permutationen mit disjunkten Trägern werden auch disjunkte Zyklen genannt." (aus de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Permutation). Der Träger einer Permutation sind die Punkte, welche unter Permutation nicht stehen bleiben. Und hier ist "disjunkt" im Sinne von "Mengen disjunkt", also haben keine gemeinsame Punkte.

"B: Kann ich also auch die Permutation in Bsp 1 als Produkt von disjunkter Zyklen schreben?"

Nein.

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14:04 Uhr, 28.11.2015

Danke für deine schnelle Antwort, DrBoogie!

Laut de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Permutation#Zerlegung_von_Zyklen_in_Teilzyklen kann man aber Zyklen in "Teilzyklen", also in Transpositionen zerlegen. D.h ich kann das so machen und dann sehe ich ob der Zykel/Permutation ungerade oder gerade ist.

Laut de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Permutation#Zerlegung_von_Permutationen_in_Zyklen kann ich dann eine Permutation in Zyklen zerlegen. Wenn nur ein Zyklus rauskommt wie in Bsp 1, dann ist das halt einfach der Zykel der Permutation, aber wenn ich nun so einen Permutation, wie in Wikipedia habe, dann hab ich ja in dem Fall 3 Zykel und da diese Zykel keine "Punkte" der anderen enthalten sind das dann disjunkte Zyklen.
Wäre dann das Produkt dieser disjunkten Zyklen die Permutation selbst?

DrBoogie aktiv_icon

16:27 Uhr, 28.11.2015

"kann man aber Zyklen in "Teilzyklen", also in Transpositionen zerlegen"

Kann man, ja, aber nicht immer in disjunkte.

"Wäre dann das Produkt dieser disjunkten Zyklen die Permutation selbst?"

Ja.

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20:04 Uhr, 28.11.2015

Habe da noch ein kleines Beispiel zur konkreten Veranschaulichung:
Folgendes soll als Prdoukt von diskunkten Zyklen dargestellt werden:

π = (1, 3, 2, 5, 7) (5, 4, 3) (2, 3)

1. Wäre

π

nun zufällig eine Permutation zerlegt in Zyklen(keine disjunkte!)?
2. Die ursprüngliche Permutation findet man ja heraus, indem man von rechts nach links durchschaut, wo meine 1,2,3... etc. hinführt.
Also die Permutation wäre dann:

π = (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 6 & 5 & 2 & 7 & 4 & 1 \end{array})

3. Dann zerlege ich diese wieder:

π = (1, 3, 5, 7, 1) (2, 6, 4)

Zufälligerweise habe ich nun da ein Produkt zweier disjunkter Zyklen. Aber da stimmt doch was nicht! Wie kann es sein, dass wenn ich ein Produkt von Zyklen als eine Permutation schreibe und diese permuation dann wieder so "zerlege" wie Anfang Punkt 3, dass ich dann nicht dieselben Zyklen bekomme, die gegeben wurden in der Aufgabe?

DrBoogie aktiv_icon

11:04 Uhr, 29.11.2015

Du hast Fehler gemacht. Richtig wäre die Permutation

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 5 & 2 & 4 & 6 & 1 \end{array})

.
Sie ist ein einziger Zykel

(1, 3, 5, 4, 2, 7)

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13:31 Uhr, 29.11.2015

Ohh nein! Hab einen Fehler beim Abschreiben gemacht. Ich meinte

π = (1, 3, 2, 5, 7) (6, 4, 3) (2, 3)

- Sorry :(.

So müsste es dann stimmen. Würde mich freuen, wenn du zu den Punkten 1. bis 3. noch etwas sagen könntest.

DrBoogie aktiv_icon

15:04 Uhr, 29.11.2015

Ich weiß nicht, was Du in diesem Kontext unter "zufällig" verstehst, aber die Sache ist die:
jede Permutation kann auf viele verschiedene Weisen als ein Produkt von Zykeln geschrieben werden. Wenn aber die Zykel disjunkt sein müssen, dann ist die Darstellung als Produkt von Zykeln eindeutig, bis auf die Vertauschung von Zykeln.

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15:39 Uhr, 29.11.2015

Na gut, dass heißt die Permutation

π

oben ist das Produkt von folgenden Zyklen:

(1, 3, 2, 5, 7) (5, 4, 3) (2, 3)

und auch das Produkt von disjunkten Zyklen:

(1, 3, 5, 7, 1) (2, 6, 4)

Und warum komme ich dann von der Permutation nicht auf

(1, 3, 2, 5, 7) (5, 4, 3) (2, 3)

sondern nur auf

(1, 3, 5, 7, 1) (2, 6, 4)

, ich komme ja auch von

(1, 3, 2, 5, 7) (5, 4, 3) (2, 3)

auf die Permutation selbst. Wie gibts das ich nicht mehr auf

(1, 3, 2, 5, 7) (5, 4, 3) (2, 3)

komme?

DrBoogie aktiv_icon

15:52 Uhr, 29.11.2015

"Wie gibts das ich nicht mehr auf (1,3,2,5,7)(5,4,3)(2,3) komme?"

Weil Du die Methode verwendest, die nur Produkte von disjunkten Zykeln produziert.
Wenn Du auf

(1, 3, 2, 5, 7) (5, 4, 3) (2, 3)

kommen willst, dann komm darauf. Wozu aber Du das willst, weiß ich nicht.

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