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Gruppe der Ordnung 56 nicht-trivialer Normailter
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Normalteiler, p-Sylowgruppe
 
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Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung einen nicht-trivialen Normalteiler besitzt. Die Anzahl der p-Sylowgruppe kann man nach dem Sylowsatz wie folgt bestimmen: und teilt . Für Gruppen der Ordnung gilt: . Daraus ergibt sich für die Anzahl der 7-Sylowgruppe und teilt 8. Wenn es nur eine 7-Sylowgruppe gibt, dann ist diese Normalteiler, weil Sylowgruppen zueinander konjgiert sind, also ist diese Untergruppe normal in G. Wenn es nun aber 8 7-Sylowgruppen gibt, komme ich in der Argumentation nicht weiter. Kann mir wer helfen? Vielen Dank im Voraus Paul Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Beachte, dass 7 eine Primzahl ist und Gruppen von Primzahlordnung zyklisch sein müssen (mit jedem Element ungleich dem neutralen Element als Erzeuger). |
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Das heißt, dass die 7-Sylowgruppen paarweise einen leeren Schnitt haben, sonst wären sie gleich. Aber wie hilft mir das weiter? |
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Nicht einen leeren Schnitt, sondern als Schnitt, aber das meintest du sicherlich auch. Naja das gibt dir schonmal Elemente der Ordnung 7. Insgesamt hast du allerdings nur Elemente. Jetzt überleg mal. |
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Wieso habe ich dann elemente? ich hab in alten aufzeichungen auch sowas gelesen, dass man dann die Elemente berechnen kann, in dem man rechnet.. kannst du mir sagen, warum? ...und auch noch eine nachfrage: Warum haben die 7-Sylowgruppen einen trivialen schnitt? weil die potenz von ist? weil aus dem fakt, dass es sich um eine p-sylowgruppe handelt, ja noch nicht folgt, dass ihr schnitt untereinander trivial ist, oder etwa doch? |
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Das habe ich oben schonmal erwähnt. Da 7 eine Primzahl ist und deine 7-Sylowgruppen hier in der Aufgabe genau 7 Elemente haben, müssen sie zyklisch sein (Gruppen von Primzahlordnung sind stets zyklisch). Dass die 7-Sylowgruppen trivialen Schnitt untereinander haben, liegt jetzt daran, dass in einer Gruppe von Primzahlordnung jedes Element ungleich dem neutralen ein Erzeuger ist (das sieht man leicht ein, denn die Ordnung solch eines Elements ist sicher und nach dem Satz von Lagrange außerdem ein Teiler von . Einziger Teiler von ist selbst). Wenn nun also zwei 7-Sylowgruppen ein gleiches vom neutralen Element verschiedenes Element besitzen so werden beide von diesem erzeugt und sind somit schon gleich! In deinem Beispiel ist dann klar, dass sich Elemente der Ordnung 7 ergeben. Du nimmst aus jeder der acht 7-Sylowgruppen alle sechs Elemente ungleich dem neutralen. Mit dem gerade überlegten sind diese alle voneinander verschieden. |
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8 Stunden Mathe können einem gnazs chön das Hirn verbraten.. Mir ist es gerade auch eingefallen. Gut haben wir also Elemente, die sich in den 7-Sylowgruppen befinden. Bleiben 8 Elemente ürbig. Wie oben schon festgehalten, ist . Also gibt es ebenfalls noch 2-Sylwgruppen in der Gruppe mit Elementen. Da es eine Untergruppe geben muss, für deren Ordnung gilt kann es, wenn es 8 7-Sylowgruppen gibt nur eine 2-Sylowgruppe geben und die ist dann Normalteiler. |
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Ja, das ist die Idee dahinter. Preisfrage: Warum sind die Elemente der 2-Sylowgruppe verschieden von den Elementen der 7-Sylowgruppen? Genau genommen, musst du dir das ja auch überlegen. |
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Mir fällt gerade auf: in 8 7-Sylowgruppen müssen Elemente sein. In jeder Sylowgruppe befindet sich das neutrale Elemente. Also gibt es neben diesem in jeder Gruppe 6 weitere Elemente neutrales Element . allerdings verändert sich nichts an der Argumentation, denn in der 2-Sylowgruppe der Ordnung 8 befindet sich ebenfalls das neutrale Element. |
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..das ist eine sehr gute frage.. ehm... jetzt tun sich die lücken in meinem algebra versätnis auf.. ehrlich gesagt, habe ich keinen schimmer. |
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erstmal ätt ich gesagt, dass sich alle verschiedenen p-Untergruppen nur in schneiden. vermutlich weil sie sonst im erzeugnis der jeweils andere Gruppe lägen und damit identisch wären..? also gleiche p-Untergruppen? |
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Ich hab doch "48 Elemente der Ordnung 7" geschrieben, also das neutrale Element extra nicht berücksichtigt. Bei dem anderen kann ich dir nicht folgen. Du solltest mit dem Satz von Lagrange argumentieren. |
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Steh gerade voll auf der Leitung.. Die Ordnung der Untergruppe muss die Gruppenordnung teilen.. das tut die 2-Sylowgruppe ja auch, wenn Elemente aus der 7-Sylowgruppe enthalten sind, oder nicht? |
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Die Kardinalität des Schnitts einer 2-Sylowgruppe und einer 7-Sylowgruppe muss hier nach Lagrange ein Teiler von 7 und ein Teiler von 8 sein, da bleibt nur die eins übrig. Also haben sie trivialen Schnitt. Ganz allgemein sieht man so, dass Sylowgruppen zu unterschiedlichen Primzahlen immer trivialen Schnitt haben. Das darf man sich durchaus merken. |
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