Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gruppen in Algebra

Gruppen in Algebra

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Relationen

Lineare Abbildungen

Tags: Algebra, Gruppen, Linear Abbildung, Relation.

Mr-Maths aktiv_icon

20:38 Uhr, 25.10.2015

Hallo,

in der Alegbra werden oft Gruppen gebildet und da hängt dann ja schon so ziemlich alles zusammen, was Grundlagen angeht etc.

Ich versuch sie wieder mal zu erklären:
(G,o) nennt man z.B. ein Magma, wobei G eine Menge ist und o die Verknüpfung auf die Elemente in G ist.
(G,o) darf man aber erst Gruppe nennen, wenn 1. o eine geschlossene Operation ist, d.h. das Ergebnis der Verknüpfung zweier Elemente in G, muss auch wieder in G sein.
Und 2. wenn o assoziativ ist, 3. zu jedem Element in G muss es ein neutral Element geben, d.h. die Verknüpfung von

a \in G

und des neutralen Elementes

e \in G

muss wieder a ergeben.
Und 4. und letztens muss G auch noch zu jedem Element ein Inverses enthalten z.B.

a = a^{- 1} = e

Das sind die 4 Bedingungen einer Gruppe. Eigentlich ganz einfach.

Dann gibts noch Sachen wie abelsch, Monoid, Halbgruppe etc.:
- (G,o) darf man Halbgruppe nennen, falls o nur assoziativ ist.
- Wenn diese Halbgruppe dann noch ein neutrales Element zu jedem Element in ihr enthält, nennt man das ein Monoid.
- Wenn das Monoid dann noch zu jedem Element ein Inverses enthält(wie oben beschrieben), dann nennt man das eine Gruppe.
- Und wenn die Verknüpfung o einer Halbgruppe, Monoid und Gruppe dann auch noch kommutativ(aob=boa) ist, dann nennt man das abelsche Halbgruppe, abelsches Monoid und abelsche Gruppe.

Ist doch eigentlich ganz einfach, oder? Müsste doch so stimmen.

Aber jetzt kommts und es bringt einiges durcheinander leider:
Es gibt auch rechtsinverse und linksinverse Elemente. Diese Elemente können nur in einem Monoid "herrschen", denn dazu braucht es natürlich ein neutrales Element.
Sei (G,o) ein Monoid und

a, b, e \in G

a o b = e

--> a ist hier ein rechtsinverses Element von b und b ist ein linksinverses Element von a. Also kann es durchaus rechtsinverse und linksinverse Elemente bei einem Monoid, wie jetzt bei

a o b = e

, geben.

Was ist, wenn auch

a o b = b o a = e

wäre? Dann wäre a links- und rechtsinvers zu b und b wäre rechts- und linksinvers zu a. Hier sagt man dann einfach a ist invers zu b und b ist invers zu a.
Wenn sowas vorkommt, ist es eine Gruppe und kein Monoid, richtig?

PS: Ich hoffe es ist in Ordnung, dass ich hier immer überprüfe, ob ich es auch verstehe, denn gerade am Anfang der Algebra-Vorlesungen ist es schwer zu wissen, ob man die Gurndlagen nun versteht oder nicht, später wenn das sitzt, sitzt es ja eh :-).

LG
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:34 Uhr, 27.10.2015

"Wenn sowas vorkommt, ist es eine Gruppe und kein Monoid, richtig?"

Das ist dann eine Gruppe und ein Monoid, denn eine Gruppe ist immer ein Monoid.

Mr-Maths aktiv_icon

22:27 Uhr, 29.10.2015

Ah, ja stimmt.

Ein Beispiel:
Es sei (A,o) eine Gruppe. Die Verknüpfung *:AxA->A sei durch a*b := b o a definiert. (Also * ist jetzt keine Multiplikation)
a)Zeige, dass (A,*) eine Gruppe ist.

Also wir müssen folgende Eigenschaften für (A,*) zeigen, sodass diese eine Gruppe ist:
-assoziativität
-besitz eines neutralelementes
-Jedes Element in A muss ein Inverses haben
-Das Ergebnis von der Verknüpfung zweier Elemten in A muss auch in A sein

Wenn ich diese 4 Eigenschaften zeigen kann, dann habe ich bewiesen, dass (A,*) eine Gruppe ist?

Hier wird ja definiert, dass a*b dasselbe Ergebnis in A hat, wie das Ergebnis von b o a. D.h. ich kann zur jeden der obigen vier Eigenschaften annehmen, dass assoziativität gilt(also bei b o a) und dann muss ich dasselbe für b*a einfach zeigen.

Gehe ich da in die richtige Richtung?

DrBoogie aktiv_icon

22:30 Uhr, 29.10.2015

"Wenn ich diese 4 Eigenschaften zeigen kann, dann habe ich bewiesen, dass (A,*) eine Gruppe ist?"

Ja.

Mr-Maths aktiv_icon

00:11 Uhr, 30.10.2015

Hmm ok.

Annahme:

a * b := b o a

Assoziativität heißt doch: Sei

a, b, c \in A

und es muss gelten:

(b o a) o c = b o (a o c)

Laut Annahme

a * b := b o a

gilt dann auch:

(a * b) * c = a * (b * c)

Neutralelement: Sei ein Neutralelement

e \in A

, gilt

(b o a) o e = b o a

. Laut Annahme muss dann auch

(a * b) * e = (a * b)

gelten.

Inverses: Aufgrund der Definition einer Gruppe gilt \forall x\in A gibt es ein Inverses

x^{- 1} \in A

, sodass

x o x^1 = (b o a) o (b o a)^{- 1} = e

. Laut Annahme muss auch

(a * b) o (a * b)^{- 1} = e

gelten.

geschlossene Operation: Laut Definition einer Gruppe muss für eine Verknüpfung

b o a = c

folgendes gelten:

a, b, c \in A

. Also muss laut Annahme auch für

a * b = c a, b, c \in A

sein.

Also stimmt das prinzipiell so? Ich werde es dann auch noch schöner machen, aber wollte jetzt nur wissen, ob das grob so in Ordnung ist bzw. die Richtung stimmt.

DrBoogie aktiv_icon

08:30 Uhr, 30.10.2015

"Also stimmt das prinzipiell so?"

Ja.

Mr-Maths aktiv_icon

09:00 Uhr, 31.10.2015

Danke, sehr gut.

Nun da wir beweisen haben, dass (A,*) eine Gruppe ist, könnten wir überprüfen/beweisen, dass (A,o) und (A,*) zueinander isomorph sind.

Was bedeutet Isomorphismus? Wenn eine bijektive Funktion auf (A,*)->(A,o) definiert ist, muss gelten: f(a*b)=f(a)of(b)
Das ist die Bedingung(Bijektive Funktion und diese "Gleichung" oben), richtig?

D.h. wir müssen eine Funktion finden, die Bijektiv auf A->A ist und dann überprüfen, ob die "Gleichung" für diese stimmt.

Erstmal gäbe es zwei bijektive Funktionen:

f (a) = a

g (a) = a^{-} 1

f (a * b) = a * b = b o a = f (b) o f (a)

, also falsch, da

f (a * b) = f (a) o f (b)

sein muss.

g (a * b) = (a * b)^{- 1} = b^{- 1} * a^{- 1}

Hmm, dass ist doch blöd jetzt, das funktioniert ja so nicht für g. Muss ich jetzt die Gleichung umschreiben?

Also

g (a o b) = g (a) * g (b)

für

(A, o) - > (A, *)

g (a o b) = (a o b)^{- 1} = b^{- 1} o a^{- 1} = a^{- 1} * b^{- 1} = g (a) * g (b)

Was ja nun das ist, was zu zeigen ist. Also ist (A,o) -> (A,*) isomorph mit der Funktion

g (a) = a^{- 1}

Richtig so?

Weiter Fragen dazu:
1. D.h. ich kann mir die Gleichung drehen und wendei wie ich will, also Verknüpfungen vertauschen, solange ich wie oben aufs richtige Ergebnis komme, passt das?
2. Reichen bei "solchen Sachen" Gleichheitsbeweise, oder muss ich das auch ausführlich formulieren? Ev. den Beweis für

(a o b)^{- 1} = b^{- 1} o a^{- 1}

nebenbei zeigen?

Mr-Maths aktiv_icon

08:24 Uhr, 01.11.2015

Kann mir jemand bitte weiterhelfen?^^

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 01.11.2015

f (a * b) = f (a) \circ f (b)

ist richtig, das ist die Definition von Homomorphismus.
Da

a * b = b \circ a

in Deinem konkreten Fall, musst Du die Abbildung

f (a) := a^{- 1}

nehmen,
denn dann

f (a * b) = (a * b)^{- 1} = (b \circ a)^{- 1} = a^{- 1} \circ b^{- 1} = f (a) \circ f (b)

.

"D.h. ich kann mir die Gleichung drehen und wendei wie ich will, also Verknüpfungen vertauschen, solange ich wie oben aufs richtige Ergebnis komme, passt das?"

Keine Ahnung, was Du damit meinst.

"Reichen bei "solchen Sachen" Gleichheitsbeweise, oder muss ich das auch ausführlich formulieren? Ev. den Beweis für

(a \circ b)^{- 1} = b^{- 1} \circ a^{- 1}

nebenbei zeigen?"

Ich glaube nicht, dass Du diese Gleichheit zeigen muss, sie ist a) offensichtlich, b) wurde bestimmt in der Vorlesung gezeigt. Aber im Zweifel kannst Du sie auch zeigen.

Mr-Maths aktiv_icon

10:57 Uhr, 01.11.2015

Ahh OK danke, aber warum stimmt mein Beweis nicht? Ist doch dasselbe nur umgedreht?

DrBoogie aktiv_icon

11:06 Uhr, 01.11.2015

In einem Beweis steht so was nicht: "Hmm, dass ist doch blöd jetzt" :-)

Wenn Du willst, dass Dein Beweis geprüft wird, musst Du am Anfang des Beweises "Beweis" schreiben und am Ende "Ende des Beweises". Sonst komme ich in Deinen "Romanen" nicht zurecht. ;-)

Mr-Maths aktiv_icon

11:14 Uhr, 01.11.2015

OK ja, sorry :-D).

g (a o b) = (a o b)^{- 1} = b^{- 1} o a^{- 1} = a^{- 1} * b^{- 1} = g (a) * g (b)

Gilt das auch? Also wenn ich von

g (a o b) = g (a) * g (b)

und

a * b := b o a

ausgehe?

DrBoogie aktiv_icon

11:19 Uhr, 01.11.2015

Ja, so geht es auch, natürlich.

Mr-Maths aktiv_icon

23:32 Uhr, 01.11.2015

Sehr gut danke.

Aber irgendwie ist es mit einem konkreten Beispiel schwieriger:

G_{1} := (ℝ, +)

G_{1} := (ℝ \ {0}, *)

G_{1} := (x \in ℝ : x > 0, *)

Erstmal zeigen, dass

G_{1}

und

G_{3}

isomorph zueinander sind.

Also um Isomorphismus zeigen zu können, brauchen wir erstmal eine bijektive Funktion. Okay und genau an dem Punkt fängts an Probleme zu machen. Wie such ich dendie bijektive Funktion und wo?

Bei den allgemeineren Beispiel wars viel einfacher, da es nur eine Menge gab und

f : A \to A

x \mapsto x^{-} 1

bijektiv ist. Aber hier mit konkreten Gruppen?

Ich versuchs mal:
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f(x)=x^{-1} ist eine bijektive Funktion. Stimmt das auch hier so? Hm, aber ich weiß nicht so recht, ist komisch mit konkrente Beispielen. Würd mich über nen Denkanstoß freuen.

DrBoogie aktiv_icon

07:12 Uhr, 02.11.2015

"Stimmt das auch hier so?"

Nein, hier ist das sinnlos.
Eine Bijektion zwischen

G_{1}

und

G_{3}

liefert die Funktion

\exp (x)

Mr-Maths aktiv_icon

08:30 Uhr, 02.11.2015

Achso da wir ja hier verschiedene Definitions- und Zielbereiche habem, muss man natürlich eine konkrete Funktion finden. Bei f:A->A wars einfach mit f(x)=x^-1 oder f(x)=x.

Beweis:
Annahme - G1 und G3 bilden Isomorphismus
Notwendige bijektive Funktion:

(ℝ, +) \to (ℝ_{+}, *)

(

R_{+}

enthält alle pos. reellen zahlen ohne Null.)

f (x) = e^{x}

Homomorphismus:

f (a + b) = f (a * b) \to e^{a + b} = e^{a} * e^{b}

Also gilt die Annahme, da f bijektiv und der Homomorphismus gültig ist.

Wie würde man für G_2 und G_3 zeigen, dass diese nicht isomorph sind?

f (x) = x^{2}

wäre doch bijektiv für

f : G_{2} \to G_{3}

, obwohl die Null fehlt, aber das ist doch egal oder?

f (x) = x

wäre z.b. nicht bijektiv weil die neg. Zahlen nirgends hinzeigen. Kann man das so sehen? Aber darf man f(x) dann überhaupt als Funktion bezeichnen, da nicht alle Punkte von Definitionsbereich auf den Zielbereich zeigen?

Im Prinzip brauchen wir eine Funktion, wo die neg. und pos. Reelen Zahlen mehrmals auf die Pos. reelen Zahlen zeigen, oder auch nur höchstens einmal.

Stimmt so oder?

DrBoogie aktiv_icon

08:49 Uhr, 02.11.2015

f (x) = x^{2}

ist nicht bijektiv auf

R

, weil sie dort nicht injektiv ist.

Allgemein zu zeigen, dass

G_{2}

und

G_{3}

nicht isomorph sind, ist etwas schwieriger.
Es geht z.B. so: wenn

f

ein Homomorphismus

G_{2} \to G_{3}

ist, dann
gilt

f (1) = 1

und

f (- 1) \cdot f (- 1) = f ((- 1)^{2}) = f (1) = 1

. Damit muss

f (- 1)

ein Element aus

G_{3}

sein, für den

f (- 1)^{2} = 1

gilt. Es gibt aber nur ein Element in

G_{3}

mit dieser Eigenschaft, und zwar

1

. Also, muss

f (- 1) = 1

gelten. Damit ist

f

nicht injektiv (

f (1 -) = f (1)

). Also, es existiert kein bijektiver Homomorphismus.

Mr-Maths aktiv_icon

09:03 Uhr, 02.11.2015

Hm, danke.

Mein Beweis zu G1 -> G3 isomorph stimmt im letzten Beitrag so oder?

Zum Anderen:
Ja gut stimmt x^2 ist nicht bijektiv, ich dachte vorher nämlich an einen eingeschränkten Definitionsbereich.

1. Warum machst du das mit f(1)=1 und nicht mit f(x)=x?
2. Gilt der nicht bijektiver homomorphismus für nur für f(1)=1, oder ist das ein beweis dafür, dass keine bijektive Funktion dazwischene existiert? Irgendwie sehe ich das noch nicht so gut heraus.

DrBoogie aktiv_icon

09:08 Uhr, 02.11.2015

"Mein Beweis zu G1 -> G3 isomorph stimmt im letzten Beitrag so oder?"

Ja.

"Warum machst du das mit f(1)=1 und nicht mit f(x)=x?"

Und wie willst Du

f (x) = x

beweisen?

f (1) = 1

ist ein Teil der Definition.

"Gilt der nicht bijektiver homomorphismus für nur für f(1)=1, oder ist das ein beweis dafür, dass keine bijektive Funktion dazwischene existiert? Irgendwie sehe ich das noch nicht so gut heraus."

Ich habe bewiesen, dass jeder Homomorphismus zwischen

G_{2}

und

G_{3}

zwangsläufig nicht injektiv ist.

Mr-Maths aktiv_icon

09:19 Uhr, 02.11.2015

Was sagt denn f(1)=1 aus? Das zeigt ja einfach, dass 1 im Def.-Bereich auf 1 im Zielbereich zeigt, also ein Punkt (1/1), wenn man so will.

1. Du schreibst f(a)*f(b)=f(a*b) als

f (- 1) * f (- 1) = f ((- 1)^{2})

, richtig?
1.1 Aber welches * ist nun welches * ? Wir haben ja eins von G3 und eins von G1
2. Warum ist dann f(-1) Element aus

G_{3}

?
3. Warum wird dann -1 verwendet?

DrBoogie aktiv_icon

09:25 Uhr, 02.11.2015

"Was sagt denn f(1)=1 aus?"

Das ist ein Teil der Definition eines Homomorphismus!
Lese die Definition.

"1.1 Aber welches * ist nun welches * ? Wir haben ja eins von G3 und eins von G1"

Das schaffst Du selber rauszufinden.

"2. Warum ist dann f(-1) Element aus

G_{3}

?"

Weil

f

Elemente aus

G_{2}

nach

G_{3}

abbildet.

"3. Warum wird dann -1 verwendet?"

Weil ich damit zeigen kann, dass

f

nicht injektiv ist.

Lass Dir bitte Zeit, um etwas nachzudenken, bevor Du Fragen stellst, das waren allesamt unnötige Fragen, so was kannst Du auch alleine.

Mr-Maths aktiv_icon

21:19 Uhr, 03.11.2015

Ok, habe mir jetzt nochmals die Definition durchgelesen und länger darüber nachgedacht. Wollet zu schnell lernen, werd ich aber in Zukunft darauf achten.
(Die Def. sagt nämlich auch, dass das neutral Element der einen Gruppe immer auf das neutral Element der anderen Gruppe abgelbildet wird, darum kann man auch einfach sagen f(1)=1)

Also ich versuchs selber zu formulieren:

G_{2} (ℝ \ {0}, *)

G_{3} (R_{+}, *)

Zu zeigen ist: Es gibt keine Funktion f:

G_{2} \to G_{3}

die isomorph ist.
Sei f eine isomorphe Funktion, dann gilt

f ((- 1) * (- 1)) = f (- 1) * f (- 1) = f (1) = 1

, also ist

f (- 1)^{2} = 1 = f (1)^{2}

. Da

f (1) \in G_{3}

und

f (- 1) \in G_{3}

ist f nicht injektiv. Somit ist die Annahme falsch und das zu Zeigende wahr, also ist f kein bijektiver Homomorphismus.

Darf ich das so machen? Annehmen das f isomorph ist und dann zeigen, dass es keine bijektive Funktion ist und darausschhließen, dass f homomorph, also nicht isomorph, ist.
Und naja, da ich angenommen habe, dass f eine homomorphismus ist, kann ich ja bwz. muss ich davon ausgehen, dass f(a)*f(a) = f(a*a) gilt.

DrBoogie aktiv_icon

06:19 Uhr, 04.11.2015

"Annehmen das f isomorph ist und dann zeigen, dass es keine bijektive Funktion ist und darausschhließen, dass f homomorph, also nicht isomorph, ist."

Theoretisch kannst Du es, aber Du hast nirgendwo genutzt, dass es ein Isomorphismus ist.
Und "f homomorph, also nicht isomorph" ist falsch ausgedrückt, denn Homomorphismus ist kein Gegenteil von Isomorphismus, viel mehr ist ein Isomorphismus ein besonderer Fall von Homomorphismus.

Mr-Maths aktiv_icon

08:04 Uhr, 04.11.2015

Achso ja, stimmt. Danke.

D.h. wenn man von einem Homomorphismus ausgeht darf man ja schreiben, dass f(-1)*f(-1)=f((-1)*(-1)) ist und daraus schließen wir, dass f(1)=1. Das muss ja auch gelten, da das eine Teildef. von Homompehismus ist. Und naja dann haben wir einfach gezeigt, dass unser Homomorphismus kein bijektiver sein kann, das keine Injektivität herrscht. Also existiert kein Isomprhismus zwischen G2 und G3.

Richtig?

DrBoogie aktiv_icon

08:14 Uhr, 04.11.2015

Und wieder bringst Du das durcheinander.

"dass f(-1)*f(-1)=f((-1)*(-1)) ist und daraus schließen wir, dass f(1)=1."

Nein,

f (1) = 1

folgt nicht daraus, sonder aus der Definition!

f (- 1) * f (- 1) = f ((- 1) * (- 1))

nutze ich nur, um zu zeigen, dass

f (- 1)^{2} = 1

gilt, denn in der konkreten Gruppe

G_{3}

gibt's nur ein Element, für das

a^{2} = 1

gilt, nämlich

a = 1

. Also in diesem konkreten Fall folgt aus

f (- 1)^{2} = 1

, dass

f (- 1) = 1

Mr-Maths aktiv_icon

09:36 Uhr, 04.11.2015

Ja OK danke, ich verstehs. Habs verdreht. Man geht von der def. aus und mit -1 zeigen wir dann, dass f nicht injektiv sein kann.

Mr-Maths aktiv_icon

00:59 Uhr, 05.11.2015

Okay, nun: G1(mathbb R,+) \to G2(\mathbb\{0}) sind nicht isomorph.

Beweis:
Sei

f : G 1 \to G 2

ein Isomorphismus. Somit

\exists r \in R : f (r) = - 1

, wobei

r! = 0

laut Bijektivität, denn f(0)=1 ist wahr laut Homomorphismus.
Laut Def. vom Homomorph. gilt:

f (r + r) = f (r) * f (r) = (- 1) * (- 1) = 1

. Es folgt r+r=2r=0, weil f(0)=1. Somit ist f(r)=f(0)=1 und f nicht injektiv und dadurch unsere Annahme kein bijektiver Homomorphismus.

Diesmal bin ich von einem Isomorphismus ausgegangen und habe auch Bijektivität vorausgesetzt, was am Ende widerlegt wurde. Stimmt das so, oder muss das genauer sein?

Andere Frage: Könnte man das auch nach dem Ansatz f(0)=1 lösen, sowie beim anderen Beispiel mit f(1)=1? Ich komme nicht drauf, wie man das so lösen könnte.

DrBoogie aktiv_icon

06:40 Uhr, 05.11.2015

"Andere Frage: Könnte man das auch nach dem Ansatz f(0)=1 lösen, sowie beim anderen Beispiel mit f(1)=1?"

Das verstehe ich nicht. Du nutzt doch

f (0) = 1

in Deinem Beweis.

Der Beweis ist von der Idee her richtig, aber einige Stellen in ihm sind falsch.

"wobei r!=0 laut Bijektivität"

Nein, nicht wegen Bijektivität, sondern einfach deshalb, weil eine Abbildung eindeutig sein muss. Wäre

r = 0

, hättest Du gleichzeitig

f (0) = 1

und

f (0) = - 1

, das geht nicht, auch für nicht bijektive

f

.

"Es folgt r+r=2r=0, weil f(0)=1."

Folgt natürlich nicht. Was folgt, ist

f (2 r) = 1

.

"Somit ist f(r)=f(0)=1"

Auch nicht richtig, richtig wäre

f (2 r) = f (0) = 1

. Und dann hast Du einen Widerspruch zur Injektivität, weil

2 r \neq 0

phystudent aktiv_icon

15:37 Uhr, 05.11.2015

Ahhja stimmt, sonst wärs ja keine Funktion.

Nochmals:
Sei f:G1→G2 ein Isomorphismus. Somit ∃r∈R:f(r)=-1, wobei r!=0, denn f(0)=1 ist wahr laut Homomorphismus.
Laut Def. vom Homomorph. gilt: f(r+r)=f(r)*f(r)=(-1)*(-1)=1. r+r=2r und es folgt f(2r)=f(0)=1, dadurch, dass 2r!=0 ist f nicht injektiv und es existiert kein Isomorphismus zwischen G1 und G2.

Anmerkung:
Da f(2r) und f(0) die gleichen Funktionswerte haben, kann es ja nicht injektiv sein, da 2r != 0 sein muss, wie am anfang erwähnt, um keine undefiniert "funktion" zu bekommen.

Richtig?

(sorry, ich bin mr-maths, aber bin nicht zu hause und kann nicht auf "mr-maths" zugreifen. phystudent isn account meinens freundes, hoffe das geht in ordnung)

DrBoogie aktiv_icon

15:50 Uhr, 05.11.2015

Ja, richtig.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1265168

1262145

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?