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Gruppen (neutrales und inverses Element)

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, inverses element, neutrales Element

anonymous

20:51 Uhr, 20.11.2009

Hallo,
ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe:

Sei $X$ irgendeine Menge. Bestimmen Sie neutrale und inverse Elemente folgender Gruppen.

i) Bij(X,X) mit der Komposition °.

ii) R(reelle Zahlen)∧x mit der durch (f +g)(x) → f (x)+g(x) für alle x ∈ X erklärten sogenannten punktweisen Addition +.

iii) Die Menge {1, . . . ,12} mit ⊕, wobei a⊕b gleich a+b sei falls a+b ≤12 ist und a+b−12 sonst.

Ich weiß was ein neutrales und inverses Element ist. Trotzdem weiß ich nicht wie man die Aufgaben löst :( Ich weiß leider überhaupt nicht wie man da ran geht...

Bei (i) würde ich nur sagen, dass die Umkehrabbildung das neutrale Element ist. Aber stimmt das und wenn ja wie zeige ich das bzw. schreibe es auf?

Danke schon mal im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

matheleo aktiv_icon

21:03 Uhr, 20.11.2009

Hallo Rieka,

du hast ganz richtig gesagt, dass das Inverse einer Bijektion die Umkehrabbildung ist. Das musst du jetzt halt nur noch formal zeigen. Um das Inverse zu bestimmen brauchst du jedoch erst das neutrale Element. Das ist in

i)

die Identitätsabbildung id, die jedes Element auf sich selbst abbildet. Wenn du das aufschreibst, würde das so gehen:

1. Das neutrale Element von

B i j (X, X)

ist id:

X \to X

mit

x \mapsto x

. Beweis:

Sei

f \in B i j (X, X)

. Dann gilt

(i d \circ f) (x) = i d (f (x)) = f (x)

.

2. Invers zu

f

ist dann die Umkehrabbildung

f^{- 1},

denn

(f^{- 1} \circ f) (x) = f^{- 1} (f (x)) = x = i d (x)

.

Genauso kannst du auch an die anderen Teilaufgaben herangehen. Melde dich, wenn etwas nicht klappt.

matheleo

anonymous

22:09 Uhr, 20.11.2009

Hallo Matheleo,

super, danke!

Ich hab noch eine Frage zu

i) :

was steht bei 1. zwischen dem

x . . x

direkt vor dem Beweis? Bei mir ist da ein Kasten zu sehen. Heißt das

x = x

oder

x

element X?

Ich habe das jetzt mal mit ii) probiert...
Verstehe nur nicht ganz was mit der punktweisen Addition gemeint ist, und was es mit dem

g (x)

auf sich hat. Muss ich

g (x)

so bestimmen, dass

f (x) = f (x)

? Das wäre doch dann einfach 0 oder?

Und das inverse Element wäre doch dann

- f (x)

. Wenn ich für

g (x)

oben

- f (x)

einsetze, so dass 0 raus kommt. Habe ich das richtig verstanden?

Wie funktioniert das bei (iii)? Da komme ich irgendwie nicht weiter.

Danke,
Rieka

matheleo aktiv_icon

10:05 Uhr, 21.11.2009

Hallo Rieka,

zwischen x und x steht der Zuweisungspfeil |-->.

Die Aufgabe ii) hast du ganz richtig gelöst. Neutral:

g (x) = 0

und Invers zu

f (x)

ist

- f (x)

.

Aufgabe iii) ist auch nicht schwer. Rechne einfach ein paar Beispiele für a und b, dann siehst du schnell, was neutral und Invers ist.

z.B.

3 + 5 = 8

oder

7 + 10 = 17 - 12 = 5

matheleo

anonymous

11:33 Uhr, 21.11.2009

Ach so, die Aufgabenstellung hat mich irgendwie irritiert. Man muss hier also das neutrale bzw. inverse Element einmal für a+b ≤ 12 bestimmen und einmal für a+b-12 ≥12.

Das neutrale Element ist doch einfach wieder 0 (bei beiden), oder?

Ist das inverse E. dann einmal -a-b und einmal -a-b+12. Oder soll man hier b bestimmen so das a+b=0 und a+b-12=0 dann ist es ja nur -a und -a+12.

Danke!

hagman aktiv_icon

12:15 Uhr, 21.11.2009

Nee, das neutrale Element musst du nur einmal bestimmen.
Und da das neutrale Element bei der BEstimung der Inversen eine wesentliche Rolle spielt, musst du selbstredend mit dem neutralen Element anfangen.

Das neutrale Element ist gewiss nicht die

0,

da 0 gar nicht in der Menge

{1,2, ...,12}

enthalten ist.

FIndest du ein

e \in {1,2, ...,12}

mit der Eigenschaft, dass beispielsweise

7 \oplus e = 7

gilt? Funktioniert dieses

e

für alle?

Erst danach kannst du dich auf die Suche nach den Inversen begeben (ist dann auch nicht mehr schwer)

matheleo aktiv_icon

12:16 Uhr, 21.11.2009

Genau. Nur ist die 0 nicht in deiner Menge enthalten. Das neutrale Element ist somit die

12,

weil $a+12=a+12-12=a$ ist. Auch bei dem Inversen ist $-a$ wie bei den ganzen Zahlen nicht in der Menge enthalten. Invers ist damit $12-a$, wie du es gesagt hast.

matheleo

anonymous

12:46 Uhr, 21.11.2009

Alles klar, danke! Stimmt, die 0 ist ja gar nicht in der Menge :-)
Ich verstehe nur noch nicht ganz, warum das inverse Element

12 - a

ist. Bei

a + b

kleiner gleich

12

ist mir das klar, aber bei

a + b - 12

nicht. Wenn man das da einsetze ist

a + 12 - a - 12 = 0

und nicht

12

? Da hätte ich jetzt gedacht, dass das inverse Element

- a + 24

ist... Man verwendet hier also nur

a + b

kleiner gleich

12

? Warum?

matheleo aktiv_icon

12:58 Uhr, 21.11.2009

Es gilt:

a + 12 - a = 12

und das ist das neutrale Element.

anonymous

13:06 Uhr, 21.11.2009

Ok, ich habe nur nicht verstanden warum man hier nicht auch

a + b - 12

verwendet - so wie bei dem neutralen Element. Warum zieht man hier also nicht noch

12

ab?

hagman aktiv_icon

13:19 Uhr, 21.11.2009

ALso nochmal:

12

ist das neutrale Element, denn für

a \in {1, . .,12}

ist

a \oplus 12

stets

= a

(und zwar ist stets

a + 12 > 12,

also

a \oplus 12 = a + 12 - 12 = a)

Ist jetzt

a \in {1, ...,12}

beliebig, so muss für das zu a inverse Element

b

gelten:

a \oplus b = 12

.
Das bedeutet aber: Entweder

a + b \leq 12

und

a + b = 12

oder

a + b > 12

und

a + b - 12 = 12

.
Für

a \neq 12,

also

a \in {1, ...,11}

findet man, dass

b := 12 - a \in {1, ...,11}

liegt und in der Tat

a + b = 12,

folglich

a \oplus b = 12

ergibt. Für

a = 12

ist dagegen

12

das inverse Element wegen

12 + 12 > 12

und

12 + 12 - 12 = 12

(das Inverse des neutralen Elements ist ohnehin immer das neutrale Element selbst)

anonymous

13:32 Uhr, 21.11.2009

Alles klar, danke für die ausführlich Erklärung! Hab jetzt alles verstanden.
Danke für die Hilfe!
Rieka

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