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Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Primzahlordnung, zyklisch
 
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Ich habe Verständnisprobleme mit dem Beweis, dass alle Gruppen von Primzahlordnung zyklisch sind. Folgendes habe ich gefunden: Es sei ∈ mit ungleich sei die von erzeugte Untergruppe von G. Der Satz von Lagrange besagt, dass ein Teiler von ist Da und prim ist, folgt Also ist Folglich ist vom Element erzeugt und deshalb zyklisch Ist der Beweis so überhaupt richtig? Ich verstehe das so: Ich nehme ein Element aus welches nicht das neutrale Element ist und erzeuge damit eine Untergruppe von G. Ist damit nun gemeint, dass bereits eine zyklische Untergruppe ist? Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind ja auch wiederum zyklisch. Kann ich daraus auch den Umkehrschluss ziehen, dass aus einer zyklischen Untergruppe auch eine zyklische Gruppe folgt? Dass nach dem Satz von Lagrange sein muss, habe ich verstanden. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Ich beschäftige mich erst seit einigen Tagen mit Gruppentheorie und bin daher noch nicht sehr tief in die Thematik eingestiegen... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Ist damit nun gemeint, dass H bereits eine zyklische Untergruppe ist?" Ja. Eine von einem Element erzeugte Untergruppe ist zyklisch, das ist einfach die Definition von zyklosch. "Kann ich daraus auch den Umkehrschluss ziehen, dass aus einer zyklischen Untergruppe auch eine zyklische Gruppe folgt?" Keine Ahnung, was Du damit sagen wolltest. Eine Gruppe kann grundsätzlich nicht folgen. |
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Vielen Dank für die Antwort! Ich habe es jetzt verstanden. Dass eine zyklische Gruppe einen Erzeuger hat, ist klar. Ich war mir nur unsicher, ob ich die Formulierung so richtig verstanden hatte. Die zweite Frage bezog sich auf die Aussage, dass die Untergruppen einer zyklischen Gruppe auch zyklisch sind. Man kann den Satz jedoch nicht umdrehen, da auch nicht zyklische Gruppen eine zyklische Untergruppe haben können . die Drehungen bei sind zyklisch, selbst jedoch nicht). |
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