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HILFE: analytische geometire
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 16:48 Uhr, 29.04.2004  |
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Hallo! ich habe ein echtes problem, denn ich weiß nicht wie ich meine hausaufgaben für den mathe-lk bis morgen machen soll! die aufgabe lautet: nenne alle punkte, die auf der ebene ax+by+cz=d mit a^2+b^2+c^2=0 liegen! Bitte helft mir! danke |
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anonymous 17:16 Uhr, 29.04.2004 |
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Hallo Laureen! Bist Du Dir sicher, dass Du die zweite Bedingung (a^2+b^2+c^2=0) richtig angegeben hast? Damit wird die Aufgabe naemlich wirklich nicht schwer. Schau Dir diese Bedingung mal ganz ganau an, und versuch ein paar (a,b,c) zu finden, die diese Bedingung erfuellen (einfach probieren). Dann ueberlege Dir, warum das mit den meisten (a,b,c) nicht passt! Uebrig bleiben dann wirklich nicht viele Kombinationen ;-). Damit vereinfacht sich dann die Frage, welche Punkte die Gleichung ax+bz+cz=d erfuellen. Es gibt dann zwei Faelle, entsprechend, ob d=0 oder d!=0. Ich denke, das genuegt erst mal. Gruss, Ben. |
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anonymous 18:54 Uhr, 29.04.2004 |
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Danke für deine antwort ben! Aber ich habe immer noch schwierigkeiten, denn a könnte doch z.b. =-5 und b=5 und c=0 sein. von dieser variante gibt es doch tausende! und wie kann ich die punkte dann genau benennen, wenn ich a,b,c von der bedingung gelöst habe? ich weiß ich bin echt dumm, aber bitte holf mir weiter es ist wirklich wichtig! Danke |
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Hallo Laureen ich glaube, das stimmt nicht ganz! Die Bedingung ist ja: a^2+b^2+c^2=0 (Aber ich habe immer noch schwierigkeiten, denn a könnte doch z.b. =-5 und b=5 und c=0 sein.=0) ... aber (-5)^2 ist +25, und somit ist bei a=-5, b=5 und c=0 die Summe a^2+b^2+c^2 = 25 + 25 + 0 = 50 Viele Grüsse Paul PS ich überlasse das Feld wieder Ben, muss gleich weg! |
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Hi, damit du dir nicht unnötig den Kopf zerbrichst: Falls die zweite Bedingung wirklich a^2+b^2+c^2=0 lautet, so erfüllt deine Lösung (a=-5 und b=5 und c=0) diese Bedingung ja gar nicht ((-5)^2+5^2+0^2=50) und die anderen Tausend auch nicht. Falls du "alle" Lösungen für a, b und c hast, lies den Rest bei Ben nach... ;) Ciao, Martin |
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anonymous 19:30 Uhr, 29.04.2004 |
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ja klar stimmt ja auch! also müssen a,b,c doch 0 sein, oder? denn was soll sonst zum quadrat 0 ergeben? ist dann die ebene/gleichung x+y+z=d? |
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Hi Laureen, da bin ich wieder. Danke, Paul und Martin, dass ihr mitmacht. (Ich hab mich jetzt mal bei Online-Mathe richtig angemeldet, was aber zur Folge hat, dass ich meinen Benutzernamen "Ben" ändern musste ... er ist zu kurz) Du hast Recht, Laureen: a, b und c müssen alle 0 sein. Und die korrekte Erklärung ist, dass wenn a^2 immer > 0 ist, falls a!=0, und da a^2, b^2 und c^2 auch noch addiert werden, darf KEINER von a, b, c ungleich 0 sein, damit am Ende 0 herauskommt, klar? Soweit gut! ABER wenn a=0, b=0 und c=0. WAS PASSIERT DANN MIT DER GLEICHUNG ax+by+cz=d ??? Da hast Du Dich wohl ganz schön vertan! Denk mochmal drüber nach, und schau dann wieder in meinen ersten Text. Liebe Grüße, Ben |
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anonymous 20:07 Uhr, 29.04.2004 |
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upsala also wenn a,b,c = 0 sind, dann ist 0=d, oder? aber wie kann ich jetzt die gesuchten punkte angeben? |
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Hallo Laureen, also: Aus a²+b²+c²=0 folgt: (I) a=b=c=0 (das habt ihr ja schon ausführlich diskutiert ;-)) Nun suchst du ja (x,y,z), die auch (II) ax+by+cz=d erfüllen sollen und wegen (I) sollen diese (x,y,z) ja dann folgende Gleichung erfüllen: (III) 0x+0y+0z=d. Über das d wurde ja in der Aufgabenstellung nichts ausgesagt. Du musst also in (II) und damit auch in (III) die von Ben angegebenen Fälle unterscheiden: 1. Fall: d=0 (welche (x,y,z), die dann (II) erfüllen, erfüllen auch (III) im Falle d=0 lautet die Frage dann...) 2. Fall: d!=0 (sprich: d ungleich 0). (welche (x,y,z), die dann (II) erfüllen, erfüllen auch (III), im Falle d ungleich 0, ist dann gefragt...) Kommst du damit nun weiter, oder benötigst du noch eine ausführlichere Erklärung? Bemerkungen: 1.) Dass die Punkte (II) erfüllen sollen, steht ja in der Aufgabenstellung: "...nenne alle punkte, die auf der ebene ax+by+cz=d..." 2.) Meine Formulierung der Frage im 2en Fall habe ich mit Absicht so gewählt, es ist (hier) eine Art Fangfrage ;-) 3.) Problem: Übrigens tut sich hier bei der Formulierung der Aufgabe schon ein Problem auf. Zumindest in meinem damaligen Schulbuch steht folgendes (außer dass dort anstatt x x1, anstatt y x2 und anstatt z x3 steht): Satz: Eine lineare Gleichung ax+by+cz=d beschreibt eine Ebene, falls die Koeffizienten a,b,c nicht alle 0 sind! (das sollte aber dort eine genau-dann-wenn Formulierung sein...) Die Aufgabe ist also sowieso schon unglücklich formuliert... (wenn es jemand nachlesen will/kann: LS (Lambacher Schweizer), Analytische Geometrie, Leistungskurs, Klett-Verlag S.87) Viele Grüße Marcel |
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anonymous 21:08 Uhr, 29.04.2004 |
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im 1. fall können doch alle a,b,c eingesetzt werden und im 2. fall keine, weil der faktor 0 das produkt auch immer 0 ercheinen lässt, oder? also dann habe ich doch immer noch nicht meine gesuchten punkte! bitte um weitere hilfe |
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Liebe Laureen, > im 1. fall können doch alle a,b,c eingesetzt werden... Ersetze bei dir mal a,b,c durch x,y,z (du weißt doch schon: a=b=c=0 und suchst x,y,z) und sage mir, was du dann erhältst. Du bist unglaublich nahe dran, das Lösungswort steht auch schon hier und mit meiner Korrektur steht schon die ganze Lösung im 1. Fall hier ;-) > und im 2. fall keine, > weil der faktor 0 das produkt auch immer 0 ercheinen lässt, oder? Was heißt das? Das heißt doch, im zweiten Falle gibt es keine solchen x,y,z und das heißt, es gibt keine Punkte. Denn egal, was du für x,y,z einsetzt, in (III) steht dann immer: 0x+0y+0z=d <=> 0=d, was aber nie geht wenn d!=0. Deswegen sprach ich auch von einer Art Fangfrage ;-) Also, was hast du nun im Fall 1 herausbekommen? Viele Grüße Marcel |
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Hi Laureen, wenn Du jetzt nur nicht a,b,c sondern x,y,z gemeint hättest wäre fast alles wunderbar gewesen! a, b und c sind doch durch die erste Gleichung schon auf a=0, b=0 und c=0 festgelegt, was die Gleichung 0x+0y+0z=d ergibt (danke Marcel für die Klarheit). An diesem Punkt wird die Logik etwas perfide, wenn man nicht daran gewöhnt ist: Die Gleichung hängt im Grunde genommen ja gar nicht mehr von x, y und z ab, was etwas verwirrend erscheint. Dennoch können wir die Frage stellen, für welche (x,y,z) die Gleichung erfüllt ist, und wenn man genau nachdenkt, ist schon hier klar, dass die Gleichung entweder für ALLE (x,y,z) erfüllt ist, oder aber für KEIN (x,y,z). Hier sieht das nun so aus: Es hängt entscheidend davon ab, was für einen Wert d hatte. Dafür gibt es die beiden Fälle: Entweder ist d=0 oder d!=0 (klar, oder?) WENN nun d=0 ist, dann haben wir die Gleichung 0x+0y+0z=0, die für ALLE (x,y,z) erfüllt ist! WENN nun d!=0 ist, dann haben wir die Gleichung 0x+0y+0z!=0, die für KEIN (x,y,z) erfüllt ist! Also: Je nach d gibt es zwei Lösungsmengen: Für d=0 ist die Lösungsmenge der GANZE RAUM. Für d!=0 ist die Lösungsmenge LEER. Verstanden? Gruss, Ben. |
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Hallo Ben, okay, ich wollte Laureen nur nochmal mit der Nase darauf stoßen, aber du hast es jetzt ausführlich beantwortet. Und an dieser Stelle denken wir doch am besten nochmal über die Aufgabenstellung nach: > nenne alle punkte, die auf der ebene ax+by+cz=d mit a^2+b^2+c^2=0 liegen! Ich habe ja oben schon angemerkt, dass man eigentlich nur dann von einer Ebene spricht, wenn bei der Gleichung (II) ax+by+cz=d gilt: a,b,c sind nicht alle 0. o.B.d.A. nehmen wir dann a!=0 an. Dann gilt aber: (*) a²+b²+c² > 0, denn: Es ist b² >= 0 und c² >= 0, und wegen a!=0 gilt a² > 0, also gilt (*). Wenn aber (*) gilt, dann kann a²+b²+c²=0 nicht gelten. Also kann ax+by+cz=d keine Ebene beschreiben. Womit wir erkennen sollten, dass die Aufgabe unsinnig formuliert ist! Viele Grüße Marcel |
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anonymous 21:32 Uhr, 29.04.2004 |
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aha:) ich glaub ich habs jetzt! also muss die gleichung x+y+z=o sein für x,y,z alle werte |
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Hallo Laureen, wenn wir mal von der unsinnigen Formulierung der Aufgabe absehen, so gilt: Für d=0 ist die Gleichung 0x+0y+0z=d für alle x,y,z erfüllt (du kannst für x,y,z einsetzen, was du willst. x=5, y=3 und z=7: Die Gleichung 0*5+0*3+0*7=0(=d) ist richtig; x=2, y=-1 und z=3,3: Die Gleichung 0*2+0*(-1)+0*3,3=0(=d) ist richtig...). Also ist die Lösungsmenge gegeben durch alle (x,y,z), wie auch schon Ben angemerkt hat. Ist d!=0, so ist die Gleichung: 0x+0y+0z=d nie erfüllt, egal, was ich für x,y,z einsetze. Das hast du doch schon selber bemerkt, das, was du meintest, war doch: 0=d geht nicht wenn d!=0. Also ist im 2. Fall die Lösungsmenge die LeereMenge, d.h. es gibt keine solchen Punkte. Übrigens: Wenn a=b=c=0 und ax+by+cz=d, so folgt doch: 0x+0y+0z=d, was äquivalent ist zu d=0. Keinesfalls aber (i.A.): x+y+z=d. Es ist ja a=b=c=0 und nicht a=b=c=1... Viele Grüße Marcel |
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anonymous 21:44 Uhr, 29.04.2004 |
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ich habe gerade nochmal in mein mathebuch hinein geguckt, um nocheinmal die genaue fragestellung zu wissen. sie lautet: erörtern sie, welche punkte die gleichung ax+by... mit der bedingung ... erfüllen. ist diese nun mit meiner/eurer lösung gelöst? schon mal vielen herzlichen dank :) |
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Hallo Laureen, aha, ich dachte doch schon, dass die Aufgabe unsinnig formuliert war (ich meine das nicht als Beleidigung...). Ich schreibe es halt nocheinmal: Wir suchen x,y,z , die folgendes erfüllen: (*) ax+by+cz=d Ferner soll gelten: (**) a²+b²+c²=0 Aus (**) folgt a=b=c=0. Dies setzen wir in (*) ein, d.h. wir suchen x,y,z mit: (***) 0x+0y+0z=d. Nun machen wir eine Fallunterscheidung: 1. Fall: d=0: Dann gilt, weil 0x+0y+0z=0 ist für alle x,y,z, gilt die Gleichung (***) auch für alle x,y,z. Also sind alle x,y,z Lösungen, die Lösungsmenge ist also, wie Ben es formuliert hat: der GANZE RAUM (fasst du etwa das Tripel (x,y,z) als Element des IR³ auf, so ist die Lösungsmenge der ganze IR³). 2. Fall: d!=0. Dann gilt: (***) kann nicht gelten, also kann (***) auch für kein Tripel (x,y,z) gelten, weil die Gültigkeit von (***) implizieren würde: d=0. Also gibt es keine solchen Tripel (x,y,z). Die Lösungsmenge ist also die LEEREMENGE. Ich habe es nur erneut geschrieben, damit du nicht immer zwischen den Antworten suchen gehen musst. Die Aufgabe war natürlich schon komplett gelöst ;-) Ist es nun klar? Viele Grüße Marcel |
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Danke Marcel, dem hab ich nichts mehr hinzuzufügen. Laureen, viel Erfolg. Ben. |
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anonymous 22:23 Uhr, 29.04.2004 |
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ok, ich glaube ich habe es jetzt gecheckt! ihr seid echt nett :) also nochmal vielen, vielen dank viele liebe grüße laureen |
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Hallo Laureen, > ok, ich glaube ich habe es jetzt gecheckt! Das freut mich! :) > ihr seid echt nett :) Danke, du auch (ich denke, ich darf im Namen aller sprechen) :) > also nochmal vielen, vielen dank > viele liebe grüße laureen Gern geschehen! (auch mal wieder im Namen aller) Viele Grüße Marcel |
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