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Häufungspunkt einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

christianabila aktiv_icon

10:33 Uhr, 29.01.2013

Hallo Leute,

ich muss zugeben, dass ich bis dato noch immer kein klares Verständnis zu Häufungspunkten habe. Deshalb möchte ich folgenden Vergleich mit euch stellen:

(a_{n}) = 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . .

.

Was sagt ihr, sind die Häufungspunkte dieser Folge

a_{n}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

10:39 Uhr, 29.01.2013

Ohne Angabe des Bildungsgesetzes lässt sich das nicht beantworten. Es scheint so, dass du

0 - 0,1 - 0,1,2 - 0,1,2,3,4 -

usw. gebildet hast. Darin kommen zwar alle Zahlen unendlich oft vor, aber in jeder Umgebung einer jeden dieser Zahlen liegen nicht fast alle (alle bis auf ENDLICH viele) Glieder der Folge. Also hat sie keinen Häufungspunkt.

christianabila aktiv_icon

10:45 Uhr, 29.01.2013

Ja, genau so wird die Folge gebildet. Ich habe kein Bildungsgesetz dafür gefunden.
Die Aufgabe ist eigentlich eine Folge reeller Zahlen zu finden, die genau alle natürlichen Zahlen als Häufungspunkte hat.

Da die Folge

a_{n} = {(- 1)}^{n}

die Häufungspunkte 1 und

- 1

hat, denke ich mir, dass die von mir anfangs gegebene Folge die Aufgabe löst. Bin natürlich bereit eure Meinungen zu hören, falls ich mich total irre!

christianabila aktiv_icon

10:50 Uhr, 29.01.2013

Vielleicht ist es hilfreich zu wissen, die Quelle zu der Behauptung, dass

- 1

und 1 Häufungspunkte der Folge

a_{n} = {(- 1)}^{n},

anzugeben:
1. misc.st23.org/mathe/2.16.hauefungspunkt.und.grenzwert-html/2.16.haeufungspunkt.und.grenzwert.html
2. Mathematik für Informatik, M. Drmota et al., Heldermann Verlag

anonymous

11:05 Uhr, 29.01.2013

Unterschied zwischen Häufungspunkt und Grenzwert.
Häufungspunkt: in jeder

ε -

Umgebung unendlich viele Elemente der Folge. Es kann mehrere Häufungspunkte geben.
Grenzwert: in jeder

ε -

Umgebung FAST ALLe

(=

alle bis auf endlich viele ) Elemente der Folge.
Jeder Grenzwert ( falls vorhanden ) ist Häufungspunkt ( aber nicht umgekehrt ).
Kommt ein Wert in einer Folge unendlich oft vor, so ist er zumindestens Häufungspunkt.

christianabila aktiv_icon

11:25 Uhr, 29.01.2013

Hi GoedelIII,

danke für die Antwort.

Diese Idee hatte ich auch bereits entwickelt, allerdings finde ich einfach keine Übereinstimmung mit der Definition aus meinem Mathebuch. Dort steht: "Wenn in jeder epsilon-Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist a ein Häufungspunkt von (a_n)_n>=0."

Weiters wird die epsilon-Umgebung wie folgt definiert: "U_epsilon(a)

= (a - ε, a + ε) = {x e R | | x - a | <

epsilon

}

".

Nehmen wir mal wieder die von mir vorgeschlagene Folge ganz am Anfang:

0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, . .

.
und wählen

a = 0

und

ε = 0.5

. Somit:

U_{0} . 5 (0) = (- 0.5, 0.5) = {x e R | | x | < 0.5} = {- 0.49, - 0.499, ... 0.499, 0.49}

.
In

U_{0} . 5 (0)

würde bloß das Folgenglied 0 enthalten sein, somit sind nicht unendlich viele Folgenglieder enthalten.

Aber wenn ich das Vergleiche mit der Folge

a_{n} = {(- 1)}^{n},

die scheinbar die Häufungspunkte

- 1

und 1 hat - und das wird in zwei Quellen so angegeben - würde mein Lösungsvorschlag stimmen. Denn in

a_{n}

scheint einfach die Wahl getroffen worden zu sein, da

- 1

und 1 unendlich oft in der Folge vorkommen. Wenn

- 1

oder 1 unendlich oft vorkommen und in einer epsilon-Umgebung enthalten ist, dann sind sie Häufungspunkte. Meiner Meinung nach entspricht dieses Verfahren gar nicht der Definition für Häufungspunkte.

anonymous

11:39 Uhr, 29.01.2013

Ich schreibe das mal untereinander
0

0,1

0,1,2

0,1,2,3

0,1,2,3,4

0,1,2,3,4,5

usw.
Die Folge enthält nur natürliche Zahlen

> 0

.
Die Zahl 0 kommt in der Folge unendlich oft vor

\Rightarrow

Häufungspunkt
Die Zahl 1 kommt in der Folge unendlich oft vor

\Rightarrow

Häufungspunkt
usw.
Noch eine Anmerkung zur

ε -

Definition: Zu jedem NOCH SO KLEINEM

ε > 0 . .

.
Ist nun 0 Häufungspunkt, so gibt es unendlich viele

a_{n}

der Folge ( die alle konstant 0 sind

),

so dass gilt

| a_{n} - 0 | < ε \Rightarrow | 0 - 0 | < ε,

was wegen

ε > 0

trivialerweise richtig ist.

christianabila aktiv_icon

13:13 Uhr, 29.01.2013

Hi GoedelIII,

einverstanden. Meiner Ansicht nach, entspricht deine Lösung nicht der Definition für Häufungspunkte. In meinem Mathebuch steht ja: "Wenn in jeder epsilon-Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist a ein Häufungspunkt."

Also, egal, welches

ε

wir wählen, es müssen unendlich viele Folgenglieder in diesem Intervall stehen.
Betrachten wir die epsilon-Umgebung von 0 mit

ε = 0.1

ist das ja das Intervall

] - 0.1, 0.1 [

. In diesem Intervall steht ja bloß das Folgenglied

0,

und nicht unendlich viele Folgenglieder...

Klar, das Folgenglied 0 kommt unendlich oft vor, aber das ist ja nicht der Wortlaut der Definition....

: (: (

HenriLeon aktiv_icon

18:10 Uhr, 29.01.2013

Der springende Punkt ist das in Abhängigkeit der Literatur Häufungspunkt

[

einer Menge ] bzw Häufungswert [ einer Folge ] unterschiedlich definiert werden.

Wir haben das so definiert:
Häufungswert (einer Folge) : unendlich viele Folgenglieder in jeder Umgebung - daher

{n \in ℕ : a_{n}

ist in

U (x)}

ist unendlich

Häufungspunkt (einer Menge

M) : U (x) \cap M

ist unendlich

Zum Beispiel:

Es liegen unendlich viele Folgenglieder in jeder Umgebung - aber die Menge

{a_{n} : n \in ℕ} \cap U (x)

ist einelementrig. Daher ist

ℕ

Häufungswert der Folge aber nicht Häufungspunkt der Menge der Folgenglieder

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