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Häufungspunkte berechnen ? hilfe !

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktionentheorie

anonymous

17:45 Uhr, 25.11.2004

apsel

14:50 Uhr, 17.11.2003

Häufungspunkte weist man ähnlich wie Grenzwerte nach. Bei einem Häufungswert müssen nämlich unendlich viele Folgenglieder in jeder noch so kleinen epsilon-umgebung liegen.

Beim Grenzert muss zusätzlich noch gelten, dass nur endlich viele FG außerhalb der epsilon-umgebung sind.

Salopp gesprochen: Wenn eine Folge mehrere Grenzwerte besitzt, so sind dies die Häufungswerte, denn mit dem Grenzwert ist es wie mit dem Highländer: Es kann nur einen geben!

Matthias

anonymous

17:45 Uhr, 25.11.2004

apsel

19:25 Uhr, 17.11.2003

ja, die Folge sin(n*pi/2) hat zum Beispiel 3 Häufungspunkte. Welche?

die Folge sin(n*pi/4) hat 5. Welche?

Matthias

anonymous

17:46 Uhr, 25.11.2004

MarcelHu

01:15 Uhr, 18.11.2003

Hallo!

Naja, welche Werte nimmt denn sin(n*(pi/2)) an?

1. Fall:

n gerade (also n=2,4,6,8,...) => es gibt a=a(n) aus IN mit n=2a =>

sin(n*pi/2)=sin(a*pi)=0 (beachte Periodizität von sin)

2.Fall:

n=4k+1 für k=0,1,2,... (also n=1,5,9,13,...)

dann gilt:

sin(n*pi/2)=sin((4k+1)*pi/2))=sin(2k*pi+(pi/2))=sin(pi/2)=1

3.Fall:

n=4k-1 für k=1,2,... (also n=3,7,11,...)

dann gilt:

sin(n*pi/2)=sin((4k-1)*pi/2)=sin(2k*pi-(pi/2))=sin(-pi/2)=-sin(pi/2)=-1

Somit solltest du erkennen, was nun die Häufungspunkte sind und warum es unendlich viele Folgenglieder gibt, so dass die "Forderung für den/die Häufungspunkt(e) erfüllt ist/sind". Die andere Aufgabenstellung (mit den 5 HPs) geht analog, und ich denke, dass bekommst du auch alleine hin. Hierbei wurde nun ja nun nicht notwendig die Epsilontik (heißt das so?) benutzt.

Viele Grüße

Marcel

MarcelHu

01:17 Uhr, 18.11.2003

Ähm, sorry, die "Epsilontik" wurde nicht benutzt wollte ich schreiben...

apsel

07:18 Uhr, 18.11.2003

Ich denke, Epsilon-technik tut es auch.

Matthías

MarcelHu

09:55 Uhr, 18.11.2003

Na, vielleicht war ich auch nur zu müde, um genauer zu formulieren, was ich eigentlich meine. Natürlich tut die Epsilontik das auch. Nur ist es hier absolut "offensichtlich", was die Häufungspunkte sind, so dass ich es nicht für notwendig halte, das hinzuschreiben ;-)

(bin halt ein fauler Mensch ;-) )

Aber das ist ja auch nun wirklich kein Problem, das hinzuschreiben:

Sei epsilon>0 gegeben und blablabla... ;-)

Falls Christoph das unbedingt auch sehen will, kann ich das auch noch, um alle Formulitäten "abgehandelt" zu haben, hinschreiben. Aber vielleicht will diese "Aufgabe" ja auch jemand anderes erledigen und entbehrt 3 Minuten seiner kostbaren Zeit...

Ich hab nun leider keine Zeit mehr wegen ner Vorlesung...

Viele Grüße

Marcel

apsel

15:24 Uhr, 18.11.2003

So meinte ich das gar nicht!

Ich meinte statt Epsilontik könnte man auch das Wort Epsilon-technik verwenden, klingt irgendwie besser.

Matthias

MarcelHu

18:45 Uhr, 18.11.2003

Oh, Missverständnis meinerseits. Ja, das klingt wirklich besser... ;-)

anonymous

17:46 Uhr, 25.11.2004

MarcelHu

15:53 Uhr, 19.11.2003

Aha, also die Häufungspunkte der Folge

c(n):=((-1)^n)-(1/n). Dann sind die Häufungswerte auch Elemente der Menge

{-1,1}.

Wenn du das nachweisen willst:

1. "=>" (zeige: 1 ist Häufungspunkt)

Sei epsilon>0 gegeben. Für gerade n gilt:

c(n)=1-(1/n). Dann gibt es ein N=N(epsilon) aus IN, so dass für alle n>=N gilt:

1/n<epsilon. Insbesondere gilt dies auch für alle geraden n>=N. Somit folgt für alle geraden n>=N:

|1-(1-(1/n))|=|1/n|<epsilon. Damit ist 1 ein Häufungswert.

Analog betrachtest du ungerade n und den vermuteten Häufungspunkt -1.

(Beachte: -1 und 1 sind Grenzwerte der Teilfolgen. Bei einem Grenzwert einer Folge ist es so, dass ab einem bestimmten Wert N stets auch alle Folgenglieder in der Umgebung des Grenzwertes liegen und damit auch unendlich viele Folgenglieder in der Umgebung. Hierbei habe ich eben nun Teilfolgen betrachtet, und dann halt nicht alle folgenden natürlichen Zahlen, sondern nur die geraden und die ungeraden. Dennoch gibt es davon dann unendlich viele. Zum Beispiel ist ja

{x: x>=20, x gerade, x aus IN} nicht endlich).

"<=" Ehrlich gesagt, wollte ich das eben hinschreiben, warum das auch die einzigen sind. Nur wird das (zumindest bei mir) ziemlich unübersichtlich, so dass ich das nicht nochmal hinschreiben will. Sondern nur mal die Idee:

Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen enthält

1. Entweder nur gerade

2. nur ungerade

3. sowohl gerade als auch ungerade

Zahlen. Damit sollte es dir möglich sein, dass im Falle 1 der Häufungspunkt 1 immer herauskommen wird, im Falle 2 als Häufungspunkt -1 und es im dritten Fall keinen geben kann. Das folgt ziemlich schnell aus den Ergebnissen der eben gezeigten Richtung "=>" und (ich habe es nicht hingeschrieben, aber denke) mit der Dreiecksungleichung. Ist mir nun zu unübersichtlich, das genauer aufzuschreiben... Falls ich mich irren sollte, so lasse ich mich gerne korrigieren.

Leider habe ich mich bisher sehr wenig mit Häufungspunkten beschäftigt, so dass ich nicht weiß, ob die Häufungspunkte der Summen von Folgen gleich der Summe der Häufungspunkte ist. Denke aber, dass das nicht hinhaut:

z. B.:

a(n):=(-1)^n*(1+(1/n))^n besitzt die HPkte e und -e.

b(n):=(-1)^n die Hpkte -1 und 1

a(n)+b(n)=(-1)^n (((1+(1/n))^n)+1) allerdings nur 1+e, -(1+e). Wenn ich das richtig sehe, tauchen e-1, -e+1 nicht auf als HP. Oder irre ich mich?

Leider fallen mir zur Zeit auch keine Sätze oder sowas dazu ein, ist schon lange her, dass ich mich das letzte mal damit beschäftigt habe. Das einzige, was mir noch einfällt (und was sich natürlich sofort aus der Definition ergibt), ist, dass jeder Grenzwert auch Häufungspunkt ist. Vielleicht gibts dann ja da nen Satz, dass die Menge aller Grenzwerte aller Teilfolgen, also:

T:={x: es existiert eine Teilfolge n(k) mit limes(n(k))=x bei k->oo) identisch oder Teilmenge der Menge aller Häufungspunkte ist. Keine Ahnung mehr... Da muss ich rumstöbern oder mir das nochmal selber überlegen. Rein intuitiv würde ich zumindest im Bereich der reellen Zahlen erstmal zustimmen. Aber verlasse dich nicht drauf, es sei denn, du hast den Satz inkl. Beweis irgendwie gelesen/stehen.

So, dass sollte erstmal reichen. Mehr kann und will ich da´zu nicht sagen, weil ichs net weiß...

Viele Grüße

Marcel

anonymous

17:46 Uhr, 25.11.2004

tth88 aktiv_icon

14:52 Uhr, 24.11.2015

Hallo!

Naja, welche Werte nimmt denn

sin (n \cdot (\frac{π}{2}))

an?

1. Fall:

n

gerade (also

n = 2,4,6,8, ...) \Rightarrow

es gibt

a = a (n)

aus IN mit

n = 2 a \Rightarrow

sin (n \cdot \frac{π}{2}) = sin (a \cdot π) = 0

(beachte Periodizität von

sin)

2.Fall:

n = 4 k + 1

für

k = 0,1,2, . .

. (also

n = 1,5,9,13, ...)

dann gilt:

sin (n \cdot \frac{π}{2}) = sin ((4 k + 1) \cdot \frac{π}{2})) = sin (2 k \cdot π + (\frac{π}{2})) = sin (\frac{π}{2}) = 1

3.Fall:

n = 4 k - 1

für

k = 1,2, . .

. (also

n = 3,7,11, ...)

dann gilt:

sin (n \cdot \frac{π}{2}) = sin ((4 k - 1) \cdot \frac{π}{2}) = sin (2 k \cdot π - (\frac{π}{2})) = sin (- \frac{π}{2}) = - sin (\frac{π}{2}) = - 1

Somit solltest du erkennen, was nun die Häufungspunkte sind und warum es unendlich viele Folgenglieder gibt, so dass die "Forderung für den/die Häufungspunkt(e) erfüllt ist/sind". Die andere Aufgabenstellung (mit den 5 HPs) geht analog, und ich denke, dass bekommst du auch alleine hin. Hierbei wurde nun ja nun nicht notwendig die Epsilontik (heißt das so?) benutzt.

Viele Grüße

Marcel

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Entschuldigt, dass ich diesen alten Thread hier ausgrabe - ich habe ein ähnliches Problem.. Wie kommst du in diesem speziellen Beispiel dazu, die Teilfolgen genau durch

n = 2 k, n = 4 k - 1

und

n = 4 k + 1

zu bestimmen?

LG

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