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Häufungswert einer Zahlenfolge
Universität / Fachhochschule
Tags: Häufungswert einer Zahlenfolge
 
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Guten Abend Herren und Damen. Ich beschäftige mich nun mit einer Aufgabe in einem Analysis Lehrbuch. Sind die Folge A(n) alle positiv und B(n):= A(n+1)/A(n) beschränkt gilt die Ungleichung lim inf A(n+1)/A(n) <= lim inf (A(n))^(1/n). Erklärt es bitte durch die Ungleichung B(n):=A(n+1)/A(n) lim inf B(n) <= lim inf [B(1)*B(2)*....*B(n)]^(1/n) also lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n)]^(1/n) Ich habe versucht, durch die Ungleichung lim inf B(n) <= lim inf [B(1)*B(2)*....*B(n)]^(1/n) die Aufgabe zu lösen. Aber zum Beispiel [A(2)/A(1)]*[A(3)/A(2)]*[A(4)/A(3)]*... ...*[A(n+1)/A(n)]=A(n+1)/A(1) Setzt man A(1):=1, dann lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n+1)]^(1/n) Aber gewünschte Ungleichung ist lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n)]^(1/n). Kann jemand bitte mir erklären, wie man aus lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n+1)]^(1/n) die gewünschte lim inf [A(n+1)/A(n)] <= lim inf [A(n)]^(1/n) schließen kann? Mit freundlichen Grüßen Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Es ist , daher ist die nachzuweisende Aussage äquivalent zu Zum eigentlichen Beweis dieser zweiten Aussage: Im Fall ist nichts nachzuweisen, da der liminf rechts auf jeden Fall ist. Sei im folgenden daher . Von links ausgehend haben wir, dass es für alle ein gilt mit für alle . Das bedeutet im Fall dann für alle . Mit Konstante folgt daraus , falls wir nur groß genug wählen, d.h., es gibt ein , so dass diese letztere Ungleichung für alle gilt. Damit gilt für alle , und damit auch . |
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Guten Abend Hal 9000 Vielen Dank für Ihren Beitrag Die Aufgabe ist Satz 28.7 von Heuser Analysis Der Autor meinte so , als ob der Satz nur durch Einsetzen der Ungleichung in die Ungleichung lim inf B(n) <= lim inf {[B(1)*B(2)*....*B(n)]^(1/n)} mit B(n):=A(n+1)/A(n) und setze A(1):=1 einfach bewiesen werden kann. Ich lade zwei betreffende Bilder hoch. Ich weiß noch nicht , was der Autor tatsächlich gemeint hatte. Aber auf jeden Fall haben Sie schon mir exzellente Antwort gegenben. Ich bedanke mich sehr. Mit freundlichen Grüßen Kim ps:Entschuldigung , die Bilder lassen sich nich hochladen! |
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Hallo verkleinere die Bilddaten so, dass es weniger als 500kB sind, dann kannst du hochladen. Gruß ledum PS im forum duzen sich alle! |
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