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Hammingkugel Beweis

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Körper

Kryptologie

Tags: Körper, Kryptologie

Fl4mer aktiv_icon

11:47 Uhr, 07.06.2017

Hi Leute,
habe ein kleines Problem mit einem Beweis. Stehe total auf dem Schlauch und habe überhaupt keinen Ansatz.

Frage:

Sei

p

eine Primzahl und

n \in ℕ

. Zeigen Sie, dass für ein beliebiges Paar von Vektoren

v, w \in {(F_{p})}^{n}

stets gilt

| B_{1} (v, {(F_{p})}^{n}) ⋂ B_{1} (w, {(F_{p})}^{n}) | \in {0,2, p,1 + n \cdot (p - 1)}

.

Hoffe ihr könnt mir helfen. Wenn ihr Fragen habt zu Definitionen von Körpern, dann gibt mir Bescheid.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

11:51 Uhr, 07.06.2017

Was ist

B_{1}

Fl4mer aktiv_icon

11:58 Uhr, 07.06.2017

Sei A eine Menge, auf welcher eine Metrik

d

definiert ist und

x

∈ A. Dann definieren wir

B_{r} (x, A) = {y

∈

A : d (x, y)

≤

r}

die Kugel (oder den Ball) um

x

mit Radius

r \in A

.
Ist aus dem Kontext klar, um welche Menge A es sich handelt, wird diese im Symbol auch weggelassen. Aus

B_{r} (x, A)

wird dann

B_{r} (x)

.
Handelt es sich bei der Metrik

d

um den Hammingabstand, so nennen wir

B_{r} (x)

auch die Hamming-Kugel um

x

mit Radius

r

pwmeyer aktiv_icon

12:02 Uhr, 07.06.2017

Hallo,

Du wirst wohl die einzelnen Fälle durchgehen müssen:

Fall

d (v, w) = 3

(Hamming-Abstand)
Fall

d (v, w) = 2

...

.

Gruß pwm

Einstein12345 aktiv_icon

00:44 Uhr, 14.05.2019

Kannst du den Ansatz ein Bisschen ausschreiben? Mir und meinen Kommilitonen ist dies bisher unklar.
Was besagt die Aussage?
Was ist hier zu zeigen?
Und wie geht man dabei voran?

ermanus aktiv_icon

08:16 Uhr, 14.05.2019

Hallo,
wenn der Durchschnitt der beiden Kugeln nicht leer ist,
gibt es ein gemeinsames Element

u

.
Mit der Dreiecksungleichung könnt ihr dann auf

d (v, w) \leq 2

schließen.
Ihr müsst dann nur noch die Fälle

d (v, w) \in {0, 1, 2}

untersuchen.
Gruß ermanus

Einstein12345 aktiv_icon

10:36 Uhr, 14.05.2019

Danke fuer die schnelle Antwort,

Was meinst du genau mit Untersuchen?

Ich verstehe nur dass wir fuer alle

v, w

zeigen muessen, dass deren Abstand

\leq 2

ist

Man musse dies nicht konkret, sondern allgemein zeigen. Gebraucht man hier eine Art Induktion? Mir faellt nichts ein.

LG

ermanus aktiv_icon

11:07 Uhr, 14.05.2019

Hallo,
hast du denn eingesehen, dass bei nichtleerem Durchschnitt der Kugeln

d (v, w) \leq 2

sein muss?

Einstein12345 aktiv_icon

11:17 Uhr, 14.05.2019

Jede der beiden Kugeln hat den Radius

1, d . h

. wenn sie sich durchschneiden sollen, dann muss der Abstand

d

\leq 2

sein. Aber das hilft uns an dieser Stelle nicht

ermanus aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.05.2019

Was bedeutet denn

d (v, w) = 1

?
Doch wohl, dass sich

v

und

w

nur in einer Position unterscheiden.
Sei dies o.B.d.A. die erste Position: Dann ist

v = (a, v_{2}, v_{3}, \dots, v_{n})

und

w = (b, v_{2}, v_{3}, \dots, v_{n})

mit

a \neq b

.
Wenn jetzt ein

u

im Durchschnitt beider Kugeln liegt,
darf es sich nur in einer Position von

v

und nur in einer Position von

w

unterscheiden.
Würde es sich z.B. in einer Position

i \neq 1

von

v

unterscheiden, dann würde es sich in der Position

i

und der Position 1
von

w

unterscheiden, würde also nicht in der

w

-Kugel liegen.
Was kannst du daraus schließen ?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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