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Harmonische Reihe ohne Glieder mit 0 - Konvergenz?
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: divergenz, Folgen und Reihen, Harmonische Reihe, Konvergenz, reih
 
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Ich verzweifle gerade an folgender Aufgabe: Untersuchen Sie die Reihe ∑ für aus auf Konvergenz, wobei die Menge der natürlichen Zahlen ist, deren Dezimaldarstellung nicht die Ziffer 0 enthält. Ich weiß, dass die "normale" Reihe divergent ist. Das Quotientenkriterium anwenden oder anderweitig abschätzen funktioniert nicht, da die Abstände zwischen den einzelnen Gliedern der Reihe unregelmäßig sind. Auch sonst stehe ich ich gerade echt auf dem Schlauch, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Hat jemand eine Idee? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Vorab: Diese veränderte Reihe ist konvergent. Wie zeigt man das? Man unterteilt den Summationsbereich in Segmente, wobei Segment für die genau -stelligen Zahlen steht. Das sind die Zahlen mit , wobei aber wie beschrieben nur über die summiert wird, die keine Null-Ziffern enthalten. Nun gibt es genau solche Zahlen in diesem Segment, darauf aufbauend kann man die Reihe durch eine geeignete konvergente Majorantenreihe nach oben abschätzen... |
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Danke schon mal! Ich verstehe was du meinst, das erinnert mich an den Beweis für den Cauchyschen Verdichtungssatz. Dass es in jedem Segment Zahlen gibt leuchtet ein, was mir allerdings noch nicht einleuchtet ist, wie man diese Summen abschätzen kann. Kurz gesagt: Wie zeigen wir nun, dass das Wegnehmen der Zahlen mit 0 aus der Summe aus der divergenten Reihe eine konvergente macht? Wie sieht diese Majorantenreihe aus? Ich weiß dass die Reihe für konvergiert, sehe aber nicht, wie ich das mathematisch korrekt einbringen kann. |
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> was mir allerdings noch nicht einleuchtet ist, wie man diese Summen abschätzen kann. Ganz einfach: Es gilt für alle mit , insbesondere also auch für die bewussten Indizes aus eben diesem Intervall. Das bedeutet , und den Wert ganz rechts solltest du sogar explizit ausrechnen können (Geometrische Reihe!). |
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Das habe ich jetzt verstanden und, wenn ich dich jetzt richtig verstehe, kann man die Reihe, die wir herausbekommen, zur geometrischen Reihe mit Grenzwert umformen, wodurch sie als Majorantenreihe fungiert. Vielen Dank für die Hilfe! |
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Leicht verrechnet, denn der Reihenwert ist 90 statt 100, na egal. |
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Wäre er nicht wenn man mit multiplizieren würde statt mit einer Konstante? da . Wo liegt mein Denkfehler? |
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Dir ist schon klar, dass die Reihe bei Index beginnt? Bei Start in Index wäre der Reihenwert 100, so aber ... |
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Das habe ich übersehen, danke für den Hinweis. Dann habe ich keine Fragen mehr. :-) |
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