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Hat jede beschränkte Folge eine Teilfolge?
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Beschränkt, Folgen und Reihen, konvergent, Teilfolge
 
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Guten Abend, Hat eigentlich jede beschränhkte Folge (nennen wir sie mal aus eine konvergente Teilfolge? Und wenn das so ist wie zeige ich das? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo nimm jedes zweite Glied der Folge als Teilfolge, oder jedes 5 te oder... Gruß ledum |
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Ich setze voraus den Bolzano-Weierstrass: jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Sei nun eine beschränkte Folge im . Es sei dabei . Dann bilden die ersten Komponenten eine beschränkte Folge in , die nach dem "normalen" Bolzano-Weierstrass eine konvergente Teilfolge besitzt. Nun betrachte die Teilfolge der , deren erste Komponenten dieser Teilfolge angehören. Verfahre nun mit dieser Folge entsprechend, in dem Du die Folge deren 2-ter Komponenten betrachtest, etc. etc. Gruß ermanus |
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Hallo, ich sitze praktisch grad an der selben Aufgabe und frage mich als ich die Antwort von dir (ermanus) gelesen hab, ob es nicht eigentlich ausreicht, wenn ich nur zeige, dass dank Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge ist? Immerhin zeigt das ja, dass jede beliebige beschränkte Folge aus mind. eine konvergente Teilfolge hat, oder irre ich mich? LG |
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Nein, das zeigt nur, dass jede Komponente der Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Betrachte z.B. die Folge . Für gerade bilden die 1-ten Kompoonenten eine konstante Folge , zugleich wechselt die 2-te Komponente in dieser Teilfolge alternierend das Vorzeichen, so dass die Teilfiolge divergiert. Man muss also, um zu einer konvergenten Teilfolge zu gelangen, eine passende echte Teilfolge der Folge heraussuchen. Gruß ermanus |
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Achso, vielen Dank! Das erklärts natürlich :-) |
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