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Herleitung Erwartungswert

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Stochastik

Tags: Stochastik

anonymous

17:47 Uhr, 28.10.2010

Kann mir bitte jemand dabei behilflich sein die Formel für den Erwartungswert (E(x)=n·p) herzuleiten?

Vielen Dank im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

17:55 Uhr, 28.10.2010

Hallo,

der Erwartungswert wird ganz anders berechnet, dafür gibt es eine Formel mit einem Summenzeichen! Was Du wohl meinst, aber hier nicht geschrieben hast ist, daß Du mit dieser Formel beweisen willst, dass für den Erwartungswert für eine Binomialverteilung die Formel

n \cdot p

gilt, oder?

anonymous

18:01 Uhr, 28.10.2010

ja genau das meinte ich :-D)

teppich aktiv_icon

22:54 Uhr, 28.10.2010

Vorab ein paar Hilfsmittel, die für die Herleitung notwendig sind:
Wenn

X

binomialverteilt ist mit Parametern

n

und

p

, dann gilt

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

.
Der binomische Lehrsatz:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

Der Binomialkoeffizient:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! k!}

Bei Summen ist eine Indexverschiebung möglich:

\sum_{k = 3}^{5} k^{2} = \sum_{k = 2}^{4} (k + 1)^{2}

Nun zum Erwartungswert einer Zufallsvariable

X \sim b i n (n, p)

\begin{array}{rcl} E X & = & \sum_{k = 0}^{n} k • P (X = k) \\ = & \sum_{k = 0}^{n} k • (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} k \frac{n!}{(n - k)! k!} p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} k \frac{n • (n - 1)!}{((n - 1) - (k - 1))! • k • (k - 1)!} p • p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} \frac{k • n • p}{k} \frac{(n - 1)!}{((n - 1) - (k - 1))! • (k - 1)!} p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = & n p • \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = & n p • \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1)} \\ = & n p • (0 + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k - 1} (1 - p)^{(n - 1) - (k - 1))}) \\ = & n p • \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) p^{k} (1 - p)^{(n - 1) - (k))} \\ = & n p • (1 + (1 - p))^{n - 1} \\ = & n p • 1^{n - 1} \\ = & n p \end{array}

Sheldorshelly aktiv_icon

09:11 Uhr, 09.11.2017

Wie kommst du von dem viertletzten schritt auf den drittletzten und vom drittletzten auf den vorletzten ?

erreffpee aktiv_icon

10:11 Uhr, 09.11.2018

Hallo

Ich denke, deine Herleitung des Erwartungswertes hat einen Fehler:

In der Summe entsteht in Zeile 4 ff. für

k = 0

(also im ersten Summanden) der Ausdruck

(0 - 1)! = (- 1)!

und dieser ist nicht definiert.
Ich empfehle:

http//www.gbraemik.de/mathe/BinomialverteilungErwartungswertVarianz.pdf

Liebe Grüße erreffpee

HAL9000

11:48 Uhr, 09.11.2018

Alternativlösung:

Die Anzahl

X \sim B (n, p)

der Erfolge eines Bernoulliexperiment mit

n

Einzelversuchen kann man auch als Summe

X = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

deuten, wobei die Indikatorvariable

X_{k}

den Ausgang des Experiments

k

signalisiert (1=Erfolg / 0=Misserfolg).

Der Linearität des Erwartungswerts wegen ist somit

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k})

, was wegen

E (X_{k}) = 0 \cdot P (X_{k} = 0) + 1 \cdot P (X_{k} = 1) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p

unmittelbar zu

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} p = n p

führt.

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